Question

el cuadro termino de una progresión geométrica es 27 y el séptimo termino es 729 . determina cual es la razón y el termino de lugar 12.

Answer 1

PROGRESIONES  GEOMÉTRICAS. Interpolación de términos.

Cuando los datos conocidos son dos términos de la progresión geométrica entre los cuales hay que interpolar  (intercalar)  otros términos, se debe usar una fórmula que permite calcular la razón "r" de la PG con dichos datos.

Esa fórmula tiene en cuenta tres datos teniendo claro que se trata de una progresión creciente:

• El término de menor valor de la PG ... a₄ = 27
• El término de mayor valor de la PG ... a₇ = 729
• El número de términos (5º y 6º) a intercalar que llamo m = 2

La fórmula dice:  $r=\sqrt[m+1]{\dfrac{b}{a} }$

Siendo "b" = a₇   y  "a" = a₄  así que sustituyo valores:

$r=\sqrt[2+1]{\dfrac{729}{27} }=\sqrt[3]{27} =3$

La razón es 3  (respuesta a la primera pregunta)

Para calcular el término de lugar 12 que se representa como a₁₂  hay que recurrir a la fórmula del término general de las PG que dice:

$a_n=a_1*r^{n-1}$

Para ello primero tengo que calcular el primer término de la PG (a₁) y para ello me apoyaré en cualquiera de los dos términos conocidos.

Tomaré el cuarto término que es  a₄ = 27, lo sustituiré en esa fórmula y tendré en cuenta que al pedirme el término de lugar 12, también sé que  n=12 así que allá voy:

$27=a_1*3^{4-1} \\ \\ a_1=\dfrac{27}{3^3} =\dfrac{27}{27} =1$

Conocido el primer término ya puedo usar de nuevo la fórmula para saber el valor del doceavo.

$a_{12}=1*3^{12-1} =3^{11} =177147$

El término de lugar 12 es 177147  (respuesta a la segunda pregunta)

Saludos.