Respuestas
Respuesta: verdadero
Explicación paso a paso:
Aplicamos el teorema de pitagoras.
C al 2= A al 2 +B al 2
25 al 2= 7 al 2 + 24 al 2
625. = 49 + 576
625=625
Respuesta:
Como ya se ha definido, un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado
opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
5.2.3 Teorema de Pitágoras
Resolución de
Triángulos
Rectángulos
c
b
a
A B
C
a : hipotenusa del triángulo rectángulo
Δ
BAC
b : cateto
c : cateto
c
b
a
A B
C
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos. Es decir:
2 2 2 a = b + c
A esta relación se le llama relación pitagórica.
El triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades, llamado
perfecto o sagrado, fue usado por los egipcios
para trazar ángulos rectos. En sus papiros se
observa que después de las inundaciones del
Nilo y construyendo triángulos rectángulos con
cuerdas, fijando los límites de las parcelas,
trazaban direcciones perpendiculares.
106
5.2.3 El recíproco del teorema de Pitágoras
Si en un triángulo
Δ
ABC se cumple 2 2 2 a = b + c , entonces
Δ
ABC es rectángulo y el ángulo
recto es el ángulo cuyo vértice es A.
Nota: Si tres números, a, b y c verifican una de las tres relaciones pitagóricas entonces,
podemos construir un triángulo rectángulo cuyos lados tienen como longitudes a, b y c.
Queda para el lector verificar que las ternas de números utilizadas por los egipcios y los
hindúes cumplen con la relación pitagórica.
5.2.3 Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Ejemplo 1: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la
hipotenusa?
Solución
Si llamamos: a a la hipotenusa; b y c a los catetos, aplicando el teorema de Pitágoras
tenemos 12 5 169 2 2 2 a = + = ⇒ a = 169 = 13
por lo que obtenemos que la hipotenusa mide 13 cm
Ejemplo 2: Dado el triángulo de la figura, con los siguientes datos: e = 9cm , g = 4.5cm y
ο β = 30 . Calcular : f y α
Solución
Al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos:
e2
= f
2
+ g2
al reemplazar por los datos, tenemos:
e2
= f
2
+ 4.52⇒ f
2
= g2
– 4.52
= 60.75
⇒ f = 60.75 ≅ 7.8
Por lo tanto: f ≅ 7.8cm
Para calcular el ángulo α , tenemos que α y β son complementarios (¿Porqué?), por lo tanto:
ο ο ο
α = 90 − 30 = 60
Ejemplo 3: Dado el
Δ
ABC tal que:
a) a = 10cm , b = 8cm y c = 6 cm
b) a = 9cm , b = 11cm y c = 5 cm
Decidir si los datos dados en a) y/o en b) corresponden a un triángulo rectángulo.
Solución
Tenemos que aplicar el recíproco del teorema de Pitágoras
Para los datos dados en a), si es rectángulo, la hipotenusa debería ser a y lo otros dos los
catetos, en consecuencia debería cumplirse:
2 2 2 a = b + c
(1) 100 2 a =
(2) 8 6 100 2 2 2 2 b + c = + =
f
g e
E G
F
α
β
107
Por (1) y (2), se cumple el teorema de Pitágoras, por lo tanto con estos datos el
Δ
ABC es
rectángulo en A.
Para los datos dados en b), si es rectángulo, la hipotenusa debe ser b y lo otros dos los
catetos, en consecuencia debe cumplirse:
2 2 2 b = a + c
(1) 121 2 b =
(2) 106 9 5 2 2 2 2 a + c = + =
Por (1) y (2), tenemos que no se cumple el teorema de Pitágoras, por lo tanto con estos datos
el
Δ
ABC no es rectángulo.
Ejemplo 4: Dado un triángulo de lados 4 cm, 5 cm y 6 cm, calcular la altura
sobre el lado menor y el área.
Solución
Al observar la figura, vemos que la altura divide al triángulo dado
en dos triángulos:
Δ
CID y el
Δ
CIE .
Al considerar estos triángulos rectángulos y aplicando
el teorema de Pitágoras, tenemos:
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
= + −
= +
2 2 2
2 2 2
5 4
6
h ( x )
h x ⇒ ⎪⎩
⎪
⎨
⎧
= + −
= +
2 2
2 2
25 4
36
h ( x )
h x
Al resolver el sistema, tenemos: h ≅ 4.96cm , x ≅ 3.38cm y 2 A ≅ 9.90cm
La altura pedida es de 4.96 cm y el área es de 9.90 cm2
5.2 TRIGONOMETRÍA
La trigonometría plana tiene como objetivo resolver triángulos. Cada triángulo está
constituido por seis elementos, tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo, significa
determinar los elementos desconocidos cuando se tienen algunos datos y ciertas relaciones
entre ellos.
5.2.3 Razones trigonométricas del triángulo rectángulo
C D
E
I
h
x 6cm 4cm
5cm
Dado cualquier otro triángulo semejante al dado, por
ejemplo, el
Δ
A´BC´ , tenemos:
BA´
A´C´
c
b , BC ´
BA´
a
c , BC ´
A´C´
a
b = = = b
a
A´ c B
C´
A
C
α
b
c
a
C
B A
Explicación paso a paso: