Un alambre de 36m de longitud se corta en dos pedazos. Una pieza se dobla para formar un cuadrado de lado "a" m y la otra pieza se dobla para formar un rectángulo con un ancho de 4m. ¿Cuál es la mínima suma de áreas en m² que se puede obtener? a) 36m² b) 40m² c) 38m² d) 42m² e) 44m² (CON PROCEDIMIENTO Y EXPLICACIÓN)

Respuestas

Respuesta dada por: Arjuna

Respuesta:

b) 40 m²

Explicación paso a paso:

Sea x el lado del cuadrado, e y la altura del rectángulo.

Suma de áreas:

$S=x^2+4y$

Para relacionar ambas variables sabemos que la suma de los perímetros es 36, de modo que:

$4x+2(y+4)=36$

⇒ $4x+2y+8=36$

⇒ $4x+2y=28$

⇒ $8x+4y=56$

⇒ $4y= 56-8x$

Sustituimos en la ecuación de la suma de áreas y ordenamos el polinomio resultante:

$S=x^2-8x+56$

Ahora tenemos dos opciones para resolverlo que dependerán de las matemáticas que hayas visto.

Si has visto problemas de máximos y mínimos mediante derivación, entonces calculamos la derivada y la igualamos a cero:

$S'(x) = 2x-8$

⇒ $x=4$

La derivada segunda siempre es positiva, por tanto se trata de un mínimo.

Ese valor de x es el que minimiza el área, que será igual a:

$S=4^2-8\cdot4+56$

$= 40\,m^2$

La otra opción para resolverlo es encontrar el valor de x para el vértice de la parábola $S=x^2-8x+56$ . Por ser una parábola vertical estará en el medio de entre las dos raíces, que obtenemos igualando a cero y resolviendo la ecuación de segundo grado.

Si prefieres que explique esto último con más detalle, coméntalo.

Respuesta dada por: luismgalli

La mínima suma de áreas en m² que se puede obtener es 48 m²

Explicación paso a paso:

El alambre: |___________|_______________|

x 36-x

Área de un cuadrado:

A = a²

Perímetro:

x = 4a

Área de un rectángulo:

A = ab