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Respuesta:
∫sen³(x/2).cos⁵(x/2).dx = 1/4. cos⁸(x/2) - 1/3. cos⁶(x/2)
Explicación:
∫sen³(x/2).cos⁵(x/2).dx usamos la identidad
sen²(x/2) + cos²(x/2) = 1 ... sen²(x/2) = 1 - cos²(x/2)
reescribimos el integral
∫sen³(x/2).cos⁵(x/2).dx = ∫(1 -cos²(x/2)). sen(x/2). cos⁵(x/2).dx
multiplicando tenemos
∫sen³(x/2).cos⁵(x/2).dx = ∫(1×sen(x/2). cos⁵(x/2)dx -∫cos²(x/2).cos⁵(x/2).sen(x/2)dx
∫sen³(x/2).cos⁵(x/2).dx = ∫(sen(x/2).cos⁵(x/2)dx -∫cos⁷(x/2).sen(x/2)dx
haciendo
u = cos(x/2)
du = -1/2.sen(x/2)dx
-2du = sen(x/2)dx
∫sen³(x/2).cos⁵(x/2).dx = -2∫u⁵.du - (-2)∫u⁷.du
∫sen³(x/2).cos⁵(x/2).dx = -2∫u⁵.du +2∫u⁷.du reescribiendo
∫sen³(x/2).cos⁵(x/2).dx = 2∫u⁷.du - 2∫u⁵.du
∫sen³(x/2).cos⁵(x/2).dx = 2 u⁸/8 - 2u⁶/6
∫sen³(x/2).cos⁵(x/2).dx = u⁸/4 - u⁶/3
devolviendo el cambio
∫sen³(x/2).cos⁵(x/2).dx = 1/4. cos⁸(x/2) - 1/3. cos⁶(x/2)