Question

Inversa de una matriz: Necesito que me ayuden a resolver esta tarea CON PROCESO, porfa de manera completa...

Answer 1

Hola :D

Tema: Matriz inversa.

Método: Definición.

Para la primera cuestión se nos pide encontrar qué matrices cumplen que $AB=BA$, éstas pueden ser la idéntica, la matriz nula y la inversa.

Para lo segundo  se nos pide calcular la inverso: cuando multiplicamos la matriz $A$ con su inversa, es decir $A^{-1}$ lo que nos dará de resultado será la matriz Identidad $(I)$.

Para el ejercicio se pide $B$, el cual es la inversa de $A$, entonces $B=A^{-1}$. En el método que voy a usar se busca encontrar los elementos de la inversa uno por uno, asignándole variables, tales como $a,b,c,d$.

Tendremos pues:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&2\\\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Recordemos que en el producto de de matrices se multiplican filas con columnas:

$\left[\begin{array}{ccc}(1)(a)+(1)(c)&(1)(b)+(1)(d)\\(1)(a)+(2)(c)&(1)(b)+(2)(d)\\\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}a+c&b+d\\a+2c&b+2d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Establecemos las igualdades:

$\clubsuit\:a+c=1$ → $Ec.\:1$

$\clubsuit \: b+d=0$ → $Ec.\:2$

$\clubsuit \:a+2c=0$ → $Ec.\:3$

$\clubsuit \: b+2d=1$ → $Ec.\:4$

Nos quedó un sistema de ecuaciones, bueno despajaré variables en $Ec.\:2$ y $Ec.\:3$:

$b+d=0\rightarrow \boldsymbol{b=-d}$

$a+2c=0\rightarrow \boldsymbol{a=-2c}$

Sustituimos en $Ec.\:1$ y $Ec.\:4$:

$a+c=1\rightarrow -2c+c=1\Rightarrow \boxed{\bold{c=-1}}$

$b+2d=1\rightarrow-d+2d=1\Rightarrow \boxed{\bold{d=1}}$

Ahora, encontramos $a$ y $b$:

$b=-d\rightarrow b=-(1)\Rightarrow \boxed{\bold{b=-1}}$

$a=-2c\rightarrow a=-2(-1)\Rightarrow \boxed{\bold{a=2}}$

Entonces, $B$ nos queda como:

$\left[\begin{array}{ccc}2&-1\\-1&1\\\end{array}\right]$

Espero haberte ayudado,

Saludos cordiales, AspR178 !!!

Moderador Grupo Rojo !