Question

Calcula los siguientes límites:

1) →2



2 + − 6

− 2

=

2) →−4



2 + 5 + 4



2 + 3 − 4

=

3) → 6



2 − 36

− 6

=

4) → 5



3 − 25



2 − 5

=

5) → −4



2 + 3 − 4



2 + 8 + 16 =​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

Para resolver estos limites algebraicos, primero debemos evaluarla cuando esta tiende a un valor de abscisa "x", si tenemos una indeterminación (ej: una división de algo por 0), deberemos realizar operaciones algebraicas (lo mas común es factorizacion) para quitar esa indeterminación:

1)

$\lim_{x \to 2} \frac{x^{2}+x-6 }{x-2}$

Claramente si evaluamos,vemos que tenemos una división por 0, nos da indeterminado, debemos factorizar, lo podemos hacer en el numerador:

$x^{2} +x-6= (x-2)(x+3)$

Lo que hice fue buscar 2 números que multiplicados nos de -6 y sumados nos de 1

Reemplazando:

$\lim_{x \to \22} \frac{(x-2)*(x+3)}{x-2}$

$\lim_{x \to \22}x+3$

Evaluando:

$2+3= 5$

2)    $\lim_{x \to \--4} \frac{x^{2}+5x+4 }{x^{2}+3x-4 }$

Factorizamos:

$x^{2} +5x+4= (x+1)(x+4)$

$x^{2} +3x-4= (x-1)(x+4)$

Reemplazando:

$\lim_{x\to \--4} \frac{(x+1)(x+4)}{(x-1)(x+4)}$

$\lim_{x \to \--4} \frac{x+1}{x-1}$

Evaluando:

$\frac{-4+1}{-4-1} = \frac{3}{5}$

3) $\lim_{x \to 6} \frac{x^{2}-36 }{x-6}$

Podemos expresar el 36 como 6², y allí tendremos una diferencia de cuadrados dela forma:

a² - b²= (a-b) (a+b)

$x^{2} -36= x^{2} -6^{2}$

$(x-6)(x+6)$

Reemplazando:

$\lim_{x \to 6} \frac{(x-6)(x+6)}{(x-6)}$

$\lim_{ x\to 6} x+6$

Evaluando:

$6+6=12$

4)      $\lim_{x \to 5}\frac{x^{3} -25x}{x^{2} -5x}$

Sacamos factor comun tanto en el numerador como el denominador, nos queda:

$\frac{x^{3}-25x }{x^{2}-5x } = \frac{x*(x^{2} -25) }{x*(x-5)}$

Podemos expresar el 25 como 5² y expresarlo como una diferencia de cuadrados:

$x^{2} -5^{2} = (x-5)(x+5)$

Reemplazando:

$\lim_{x \to 5} \frac{x*(x-5)(x+5)}{x(x-5)}$

$\lim_{x \to 5} x+5$

Evaluando:

$5+5=10$

5)   $\lim_{ x\to-4 } \frac{x^{2}+3x-4 }{x^{2} +8x+16}$

Factorizamos:

$x^{2} +3x-4= (x-1)(x+4)$

$x^{2} +8x+16= (x+4)^{2}$  

Reemplazando:

$\lim_{x \to -4} \frac{(x-1)(x+4)}{(x+4)^{2} }$

$\lim_{x \to -4} \frac{x-1}{x+4}$

Como ya no podemos seguir factorizando, y el limite nos sigue dando indeterminado, decimos que este no existe

Saludoss