Question

La suma de tres números en P.A. es 39 y su producto es 2.184. Determine los números.

Answer 1

Respuesta:

12, 13, 14

Explicación paso a paso:

Supongo que P.A. es "progresión aritmética".

Sea x el número más bajo, y sea d la diferencia o razón aritmética. Los tres números son:

x

x + d

x + 2d

La suma de los tres números es 39:

x + x + d + x + 2d = 39

=> 3x + 3d = 39

=> x + d = 13

=> d = 13 - x

x(x + d)(x + 2d) = 2184

=> $x^3+2x^2d+ x^2d+2xd^2 = 2184$

=> $x^3+3x^2d+2xd^2=2184$

Sustituyendo el valor de d:

$x^3+3x^2(13-x)+2x(13-x)^2 = 2184$

=> $x^3+39x^2-3x^3+2x(169-26x+x^2) = 2184$

=> $x^3+39x^2-3x^3+338x - 52x^2 + 2x^3= 2184$

=> $-13x^2+338x=2184$

=> $13x^2 - 338x+2184=0$

Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos:

Soluciones:

x = 12 => d = 13 - 12 = 1

x = 14 => d = 13 - 14 = -1

Es decir, hay dos soluciones posibles:

• 12, 13, 14
• 14, 13, 12

Por lo general se sobreentiende que la diferencia o razón en una progresión aritmética es siempre positiva, de modo que la solución es la primera. En cualquier caso los números son los mismos.

PD:  No tengo ganas de rehacer el ejercicio, pero hubiera sido mejor denominar x al valor central de la sucesión. Con la condición de la suma ya se puede establecer que x = 13, y el producto queda

(13 - d)d(13 + d) = 2184

Lo cuál es más sencillo de operar que lo que puse en la resolución.

De ahí sacamos d, y puesto que conocemos el valor central, ya tenemos los otros dos valores.

Lo dejo a tu criterio.