Question

Hola, me podéis ayudar plis :3 Comprobar que las siguientes funciones son inyectivas, pero no sobreyectivas:

Answer 1

Tema:

funciones inyectivas y sobreyectivas.

⇒1. Si es inyectiva pero no sobreyectiva.

⇒2. Si es inyectiva pero no sobreyectiva.

⇒3. Si es inyectiva pero no sobreyectiva.

Explicación paso a paso:

Comencemos por clarificar los conceptos del enunciado.

función inyectiva. Es aquella en la que a cada elemento del conjunto de llegada  f(x), le corresponde como máximo un elemento del conjunto de partida "x".

función sobreyectiva. Es aquella en la que a todo elemento del conjunto de llegada  f(x), tiene al menos un  elemento del conjunto de partida "x".

Habiendo aclarado esto, resolveré el primero de forma más profunda para que quedé más claro esto.

1. Función mitad de los enteros en los reales $f: Z \rightarrow R$

y nos dan la expresión:  $\frac{x}{2}$

Sabemos que estamos trabajando con los enteros, es decir, números sin decimales y que comprenden los números negativos (-1,01,2,3,4...etc), este es nuestro conjunto de partida.  Nuestro conjunto de llegada f(x) Son los reales, es decir, el campo que abarca a todos los números positivos, negativos, decimales y racionales $(+2,-3,1.3,\pi )$.

Para este caso si se cumple que la función es inyectiva, debido a que cumple con su definición. (primera imagen adjunta)

Pero si observamos a fondo, no es sobreyectiva debido a que por más números enteros que pongamos, nunca podremos obtener en el conjunto de llegada, por ejemplo, f(x)= 0.1  (segunda imagen)

2. Función cuadrada de los naturales en los reales. $f: N \rightarrow R$

y nos dan la expresión: $x^2$

Esta expresión tiene la propiedad que hay dos valores que coinciden en f(x), ejemplo

$(-1)^2=1\\(1)^2=1$

Sin embargo este problema nos limita a los naturales, por lo que si se cumple que es inyectiva, pero no es sobreyectiva, si consideramos lo del punto anterior.

3. Función inclusión del subconjunto propio $X\subset Z$en $Z$,  $f: X \rightarrow Z$

La función inclusión, tambien llamada inyección canónica toma un subconjunto X del conjunto Z. Supongamos que el conjunto Z es:

Z=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)

Y el subconjunto x, sería un una parte de Z:

X=(3,4,5,6,7)

Con esto podemos decir que si es inyectiva, pero no es sobreyectiva debido a que como solo es un subconjunto no puede abarcar todos los valores del conjunto Z, por ejemplo, el 9.