Question

calcular el area limitada por una curva y = x^2 -5X + 6 y la recta y= 2X
calcule y grafique sombree el area

Answer 1

Cualquier polinomio de grado dos y de una variable, representa una parábola, en este caso, como el monomio de mayor grado tiene coeficiente 1, o sea positivo, esta parábola se abre hacia arriba.

Primer paso. Calcular los puntos de intersección entre las líneas involucradas.
como ya tienen despejadas las Y, entonces las igualamos

               $x^2-5x+6=2x\\ \\ x^2-7x+6=0\\ \\ (x-1)(x-6)=0\\ \\ \boxed{x=1\vee x=6}$

Estos dos valores nos dan las abscisas de los puntos de corte.

Segundo paso. debemos ver si el área está por debajo del eje X (es bueno ayudarse con la gráfica).

Hallemos los puntos de intersección de la parábola con el eje X:
             $x^2-5x+6=0\\ \\ (x-2)(x-3)=0\\ \\ \boxed{x=2\vee x=3}$

Esto quiere decir que la parábola pasa por los puntos (2,0) y (3,0), por lo tanto si 2 < x < 3 entonces un trozo de parábola está por debajo del eje X

Esto sugiere separar el área en tres segmentos: [1,2] , [2,3], [3,6], donde las áreas en los segmentos [1,2] y [3,6] están sobre el eje X, y el área en [2,3] está debajo del eje X.

Tercer paso. Cálculo del área
1) En los intervalos: [1,2] y [3,6]. En estos intervalos intervienen la recta y la parábola

$\displaystyle A_1=\int_{1}^2\underbrace{2x}_{\text{est\'a encima}}-\underbrace{(x^2-5x+6)}_{\text{est\'a debajo}}dx+\int_{3}^62x-(x^2-5x+6)dx\\ \\ \\ A_1=\int_{1}^2-x^2+7x-6\;dx+\int_{3}^6-x^2+7x-6\;dx\\ \\ \\ A_1=\left.\left(-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{7x^2}{2}-6x\right)\right|_{1}^2+\left.\left(-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{7x^2}{2}-6x\right)\right|_{3}^6\\ \\ \\ \boxed{A_1=\dfrac{47}{3}}$


2) En el intervalo: [2,3]

$\displaystyle A_2=\int _{2}^3\underbrace{0}_{\text{el eje X est\'a encima de la par\'abola}}-(x^2-5x+6)\; dx\\ \\ \\ A_2=\left.\left(-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{5x^2}{2}+6x\right)\right|_{2}^3\\ \\ \\ \boxed{A_2=\dfrac{1}{6}}$

3) sumamos las áreas
            $A=A_1+A_2\\ \\ A=\dfrac{47}{3}+\dfrac{1}{6}\\ \\ \\ \boxed{A=\dfrac{95}{6}}$

Gráfica adjunta:

Answer 2

Respuesta:

A= 125/6  u^2

Explicación paso a paso: