Question

3. Dado A = 4^n . 5^n y B = 12^n . 15^n. Además se sabe que el M.C.D. de A y B tiene 45 divisores. Hallar: n + 1 Necesito con solución por favor

Answer 1

Respuesta:

$n + 1 = 5$

Explicación paso a paso:

$A= 4^{n} * 5^{n}\\ B= 12^{n} * 15^{n}$

Se debe dejar la descomposición de ambos números en primos, para ello puedo escribir A como:

$A= 2^{n}* 2^{n}*5^{n}\\A= 2^{2n} * 5^{n}$

y puedo escribir B como:

$B = (4*3)^{n} * (5*3)^{n} \\B= 4^{n} * 3^{n} * 5^{n} * 3^{n}\\B= 2^{n}* 2^{n} * 3^{n} * 5^{n} * 3^{n}\\ B = 2^{2n}* 3^{2n} * 5^{n}$

De esta forma puedo observar que el M.C.D de los dos números esta representado por

$M.C.D. = 2^{2n}* 5^{n}$

Ahora sabemos que ese número debe poseer 45 divisores, el número de divisores de un número están dados por  (α +1)(β +1)(γ +1)(δ+ 1)... siendo  α, β, γ, δ los exponentes de los factores primos resultantes de la descomposición del número.

si hacemos n = 4  obtenemos:

$M.C.D = 2^{8} * 5^{4} \\M.C.D = 160000$

Realizando la descomposición obtenemos:

160000 | 2

80000 | 2

40000 | 2

20000 | 2

 10000 | 2

  5000 | 2

  2500 | 2

  1250  | 2

    625 | 5

     125| 5

      25 | 5

        5 | 5

        1

$160000 = 2^{8}* 5^{4}$

Ahora calculemos la cantidad de divisores: (8+1)(4+1) = 9 * 5 = 45

Por tanto cumple con las condiciones iniciales del problema, de este modo podemos saber que

$n + 1 = 5$

Answer 2

La suma de n + 1 corresponde a 5

Tenemos que A y B esta formado por los siguientes factores

A = 4^n * 5^n

A = 2^2n *5^n

B = 12^n * 15^n

B= (2^2 * 3)^n * (5*3)^n

B= 2^2n * 3^n *5^n * 3^n

B = 2^2n * 3^2n *5^n

MCD (A,B) = 2^2n*5^n

Como sabemos la cantidad de divisores podemos escribir

45 = (2n +1)*(1+n)

2n^2 +3n + 1 = 45

2n^2 +3n - 44 = 0

Aplicamos la resolvente y obtenemos

n = 4

n = - 11/2

Nos quedamos con el numero entero positivo y por lo tanto

n + 1 = 4 + 1 = 5

Si quieres saber mas

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