Question

50. RESOLVER CON ECUACIONES.
En una reunión, todas las personas se presentan entre ellas y se saludan con un apretón de manos.
a) En una reunión de 22 personas ¿cuántos apretones de manos se producirán?
b) Si se han producido 91 apretones de manos, ¿cuántas personas eran en la reunión?

Answer 1

a) Sale por COMBINACIONES DE 22 ELEMENTOS (las personas) TOMADAS DE 2 EN 2 (que son los intervinentes en un apretón de manos).

La fórmula por factoriales dice:

C₂₂,₂ = m! / n!·(m-n)! ... sustituyendo...
C₂₂,₂ = 22! / 2!·(22-2)!  =  22×21 / 2 = 231 apretones.

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b) Aquí es lo contrario. Tenemos el resultado de las combinaciones C (los apretones) y necesitamos saber cuántas personas (m) había.
También conocemos la forma de combinarlas que sigue siendo de 2 en 2,

por tanto conocemos:

C = 91
n = 2
m = ? ... es lo que hay que calcular. Volviendo a la fórmula...

C (m,n) = m! / n!·(m-n)! ... sustituyendo...
91 = m! / 2!·(m-2)! --------> 91 = m·(m-1) / 2 ----> 182 = m² - m

m² - m - 182 = 0 ... resolviendo por fórmula general de ec. de 2º grado...

m₁ = (1+27) / 2 = 14 personas.
m₂ = (1-27) / 2 = -13 ... que se desecha por salir negativa y no tener lógica en la solución real al ejercicio puesto que trabajamos en el campo de los números naturales y no de los enteros. No existen "personas negativas" en los apretones de manos.

Saludos.