Un cono recto de 3 cm de radio tiene 18 π √2 cm3 de volumen ¿Cuál es el área total del cono?

Respuestas

Respuesta dada por: rumaykiyya1011
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Datos:

Radio = 3cm

Volumen = 18 π √2 cm3

El área lateral de superficie (L. S. A.) de un cono recto es por definición:

L.S.A.=\pi rl

donde:

l es la altura de inclinación del cono

π es la constante 3,14

r es el radio

Necesitamos por tanto encontrar la altura de inclinación del cono y vamos a sacarlo del volumen:

Por definición el volumen de un cono con radio r es un tercio del área de la base (\pi r^{2}) por la altura h:

V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h

Sustituimos en la fórmula:

18 \pi  \sqrt{2} = \frac{1}{3} \pi 3^{2} h

18 \pi  \sqrt{2} = 3\pi  h

Despejamos h:

$ h= \frac{ 18 \pi  \sqrt{2}}{3\pi }

$ h=6  \sqrt{2}

Para hallar la inclinación del cono tenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la inclinación del cono, el cateo mayor es la altura que acabamos de hallar y el cateto menor es el radio de la circunferencia de la base por lo tanto aplicamos el Teorema de Pitágoras:

l^{2} = h^{2} + r^{2}

Sustituimos:

l^{2} = (6\sqrt{2)} ^{2} + (18\pi \sqrt{2} )^{2}

l^{2} = 6 ^{2}\cdot 2 + (18\pi)^{2}\cdot2

l^{2} = 72 +  648\pi ^{2}

l^{2} = 72 +  648 \cdot 9,87

l^{2} = 6.467,5

l = \sqrt{6.467,5}

l=80,42

(Aquí no he encontrado la manera de expresar la inclinación arrastrando radicales y π, revísalo por si es posible y no he sido capaz de ver cómo)

Sustituimos en la fórmula del área:

L.S.A.=\pi rl

L.S.A.=\pi\cdot3\cdot80,42

\boxed {L.S.A.=757,94cm^{2}}

Adjuntos:

xninox: gracias te pasaste :)
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