Question

Un cono recto de 3 cm de radio tiene 18 π √2 cm3 de volumen ¿Cuál es el área total del cono?

Answer 1

Datos:

Radio = 3cm

Volumen = 18 π √2 cm3

El área lateral de superficie (L. S. A.) de un cono recto es por definición:

$L.S.A.=\pi rl$

donde:

l es la altura de inclinación del cono

π es la constante 3,14

r es el radio

Necesitamos por tanto encontrar la altura de inclinación del cono y vamos a sacarlo del volumen:

Por definición el volumen de un cono con radio r es un tercio del área de la base ($\pi r^{2}$) por la altura h:

$V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$

Sustituimos en la fórmula:

$18 \pi \sqrt{2} = \frac{1}{3} \pi 3^{2} h$

$18 \pi \sqrt{2} = 3\pi h$

Despejamos h:

$h= \frac{ 18 \pi \sqrt{2}}{3\pi }$

$h=6 \sqrt{2}$

Para hallar la inclinación del cono tenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la inclinación del cono, el cateo mayor es la altura que acabamos de hallar y el cateto menor es el radio de la circunferencia de la base por lo tanto aplicamos el Teorema de Pitágoras:

$l^{2} = h^{2} + r^{2}$

Sustituimos:

$l^{2} = (6\sqrt{2)} ^{2} + (18\pi \sqrt{2} )^{2}$

$l^{2} = 6 ^{2}\cdot 2 + (18\pi)^{2}\cdot2$

$l^{2} = 72 + 648\pi ^{2}$

$l^{2} = 72 + 648 \cdot 9,87$

$l^{2} = 6.467,5$

$l = \sqrt{6.467,5}$

$l=80,42$

(Aquí no he encontrado la manera de expresar la inclinación arrastrando radicales y π, revísalo por si es posible y no he sido capaz de ver cómo)

Sustituimos en la fórmula del área:

$L.S.A.=\pi rl$

$L.S.A.=\pi\cdot3\cdot80,42$

$\boxed {L.S.A.=757,94cm^{2}}$