Question

demostrar la identidad tan(w/2) +cot w= cscw

Answer 1

Hola, como estas? Voy a partir de trabajar con el lado izquierdo de la igualdad y voy a llegar al lado derecho.

Primero voy a nombrar $\alpha = \frac{W}{2}$ y sustituir esto en la expresión, por una cuestión de simplicidad, entonces

$tan(\alpha) + cot (2\alpha) = csc(2\alpha)$

Luego utilizamos la identidad trigonométrica $tan(\alpha) = \frac{sen(\alpha) }{cos(\alpha)}$ y $cot(2\alpha) = \frac{1}{tan(2\alpha )}$

Reemplazamos estas identidades en la expresión

$\frac{sen(\alpha) }{cos(\alpha)} + \frac{1}{tan(2\alpha )} =$

$\frac{sen(\alpha) }{cos(\alpha)} + \frac{cos(2\alpha)}{sen(2\alpha )} =$

$\frac{sen(\alpha )*sen(2\alpha )+cos(2\alpha )cos(\alpha )}{cos(\alpha )*sen(2\alpha )} =$

Luego aquí utilizaremos otra identidad trigonométrica $cos(\alpha)cos(\beta)+sen(\alpha)sen(\beta)=cos(\alpha -\beta)$

$\frac{cos(\alpha - 2\alpha )}{cos(\alpha )sen(2\alpha )}=$

$\frac{cos( - \alpha )}{cos(\alpha )sen(2\alpha )}=$

Por propiedad trigonométrica sabemos que $cos(\alpha )=cos(-\alpha )$

$\frac{cos( \alpha )}{cos(\alpha )sen(2\alpha )}=$

Simplificamos y nos queda

$\frac{1}{sen(2\alpha )} =$

Aqui podemos utilizar otra identidad trigonométrica que dice $\sin \left(x\right)=\frac{1}{\csc \left(x\right)}$ entonces

$\frac{1}{\frac{1}{\csc \left(2\alpha \right)}}=$

Y finalmente llegamos al lado derecho de la ecuación

=$\csc \left(2\alpha \right)$

y acá podes reemplazar lo que dijimos al principio $\alpha = \frac{W}{2}$

$=csc(W)$

quedando esto demostrado.

Espero te sirva.