Question

una escalera de mano está apoyada contra la pared de un edificio. Del pie de la escalera al edificio hay 15m. La escalera forma con el suelo un ángulo de 50 grados. A que altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera? Cual es la longitud de la escalera?

Answer 1

El extremo superior de la escalera se encuentra aproximadamente a una altura de 17,88 metros desde el suelo. La longitud de la escalera es de aproximadamente 23,34 metros

Procedimiento:    

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.  

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura desde el suelo que alcanza el extremo superior de la escalera apoyada contra el edificio, el lado BC que representa la distancia del pie de la escalera al edificio y el lado AC que sería la longitud de la escalera, que forma con el plano del suelo un ángulo de elevación de 50°

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos la distancia del pie de la escalera al edificio y de un ángulo de elevación de 50°

• Distancia del pie de la escalera al edificio  = 15 m

• Ángulo de elevación = 50°

• Debemos hallar a que altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera y la longitud de la escalera

Hallando a que altura del suelo se encuentra la cima de la escalera

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como sabemos el valor del cateto adyacente (lado BC) que representa la distancia del pie de la escalera al edificio, asimismo conocemos el ángulo de elevación que conforma la escalera con el plano del suelo, y se pide hallar a que altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera podemos relacionar los datos que tenemos con la tangente del ángulo

Planteamos

$\boxed {\bold { tan (50)\° = \frac{ cateto \ opuesto}{ cateto \ adyacente } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed {\bold { tan (50)\° = \frac{ altura \ cima \ escalera}{ distancia \ escalera \ a \ edificio } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed {\bold {altura \ cima \ escalera =distancia \ escalera \ a \ edificio \ . \ tan (50)\° } }}$

$\boxed {\bold {altura \ cima \ escalera =15 \ metros \ . \ tan (50)\° } }}$

$\boxed {\bold {altura \ cima \ escalera =15 \ metros \ . \ 1,1917535925942 } }}$

$\boxed {\bold {altura \ cima \ escalera \approx\ 17,88 \ metros }}$

La escalera se encuentra a una altura de ≅ 17,88 metros

Hallando la longitud de la escalera

Si el coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente (lado BC) y la hipotenusa (lado AC)

Como sabemos el valor del cateto adyacente (lado BC) que representa la distancia del pie de la escalera al edificio, asimismo conocemos el ángulo de elevación que conforma la escalera con el plano del suelo, y se pide hallar la longitud de la escalera podemos relacionar los datos que tenemos con el coseno del ángulo

Planteamos

$\boxed {\bold { cos (50)\° = \frac{ cateto \ adyacente }{ hipotenusa } = \frac{BC}{AC} }}$

$\boxed {\bold { cos (50)\° = \frac{ distancia \ escalera \ a \ edificio }{ longitud \ escalera } = \frac{BC}{AC} }}$

$\boxed {\bold {longitud \ escalera = \frac{ distancia \ escalera \ a \ edificio }{ cos (50)\° } }}$

$\boxed {\bold {longitud \ escalera = \frac{ 15 \ metros }{ cos (50)\° } }}$

$\boxed {\bold {longitud \ escalera = \frac{ 15 \ metros }{ 0,6427876096865 } }}$

$\boxed {\bold {longitud \ escalera \approx \ 23,34 \ metros }}$

La longitud de la escalera es de ≅ 23,34 metros