Question

6 simplificar la siguiente expresión

Answer 1

A = 0

Explicación en la imagen adjunta

Answer 2

Cristian ..

Veamos una solución con propiedades de

Identidades Trigonométricas

enunciamos primero

sen3θ = sen(θ).[2cos(2θ)+1]

demostración

usaremos las propiedades de los arcos compuestos

pero para ello voy a descomponer 3θ = 2θ+θ

entonces

sen(2θ+θ)= sen(2θ).cos(θ) + cos(2θ).sen(θ)

tener en cuenta que : sen(2θ)=2sen(θ).cos(θ)

sen(2θ+θ)=2sen(θ).cos²(θ)+cos(2θ).sen(θ)

factorizar "sen(θ)"

sen(2θ+θ)= sen(θ).[2cos²θ+cos(2θ)]

tener en cuenta : cos(2θ)=2cos²θ-1

sen(2θ+θ)= sen(θ)[cos(2θ)+1+cos(2θ)]

sen(2θ+θ)=sen(θ)[2cos(2θ)+1]

sen(3θ)=sen(θ)[]  .....L.q.q.d

teniendo en cuenta que si despejamos

$2cos(2\alpha )+1=\cfrac{sen(3\alpha) }{sen(\alpha)}$

igualmente demostramos

cos(3θ)=cos(θ)[2cos(2θ)-1]

demostración

cos(2θ+θ)= cos(θ).cos(2θ) - sen(θ).sen(2θ)

cos(2θ+θ)= cos(θ).cos(2θ) - sen(θ).2.sen(θ).cos(θ)

cos(2θ+θ)= cos(θ).cos(2θ) - 2cos(θ).sen²(θ)

tener en cuenta : sen²(θ)+cos²(θ)=1

cos(2θ+θ)= cos(θ).cos(2θ) - 2cos(θ).(1-cos²(θ))

cos(2θ+θ)= cos(θ).cos(2θ) - cos(θ)(2-2cos²(θ))

cos(2θ+θ)= cos(θ).cos(2θ) - cos(θ)(2-(cos(2θ)+1))

cos(2θ+θ)= cos(θ).cos(2θ) - cos(θ)(1-cos(2θ))

factorizamos "cos(θ)"

cos(2θ+θ)= cos(θ)[cos(2θ)-(1-cos(2θ))]

cos(2θ+θ)= cos(θ)[2cos(2θ)-1]

cos(θ)[2cos(2θ)-1] .......L.q.q.d

teniendo en cuenta que si despejamos

$2cos(2\alpha )-1 =\cfrac{cos(3\alpha) }{cos(\alpha) }$

en el problema

$A=\cfrac{tan(3\alpha).cos(3\alpha ) }{cos(\alpha) } -\cfrac{tan(\alpha ).sen(3\alpha) } {sen(\alpha) } \\\\ \\ A=\cfrac{sen(3\alpha).cos(3\alpha ) }{cos(3\alpha )cos(\alpha) } -\cfrac{sen(\alpha ).sen(3\alpha) }{sen(\alpha).cos(\alpha) }\\ \\ \\ A=\cfrac{sen(3\alpha) }{cos(\alpha) } -\cfrac{sen(3\alpha) }{cos(\alpha) } \\ \\ A=0$

Saludos