Question

Cinco parejas de esposos van a un concierto pero tienen la mala suerte de encontrar solamente cinco asientos juntos en una misma fila. ¿De cuántas maneras se podrán sentar si se quiere que por lo menos estén sentados un hombre y una mujer?

Answer 1

COMBINATORIA. Problema

Analizo la situación.

• Tenemos 5 mujeres y 5 hombres  (las cinco parejas).
• Tenemos 5 asientos que llamaré: A, B, C, D, E

Condición pedida:  que al menos haya un hombre y una mujer en esos cinco asientos disponibles.

Tenemos dos situaciones principales que luego se repiten a la inversa:

• 1ª .- Se sienta una mujer y cuatro hombres
• 2ª.- Se sientan dos mujeres y tres hombres

Y se repiten así:

• 3ª .- Se sienta un hombre y cuatro mujeres
• 4ª .- Se sientan dos hombres y tres mujeres

Para la situación 1ª, que en esos 5 asientos se siente al menos una mujer en el asiento "A", tomaré a los 5 hombres y los variaré de 4 en 4 para saber todas las maneras en que, si moverse la mujer de dicho asiento, podrán sentarse los 5 hombres en los asientos B, C, D, E

Para ello se acude a la fórmula por factoriales del modelo combinatorio llamado VARIACIONES y tenemos que esto es:

VARIACIONES DE 5 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 4 EN 4 (n)

$V_m^n=\dfrac{m!}{(m-n)!} \\\\\\ V_5^4=\dfrac{5!}{(5-4)!} =\dfrac{5!}{1!} =5*4*3*2*1=120\ maneras$

Esta cantidad hay que multiplicarla por 5 puesto que habrá que contar con que la mujer puede sentarse en los otros 4 asientos (B, C, D, E) de tal modo que los hombres se irán acoplando a los asientos que queden libres dependiendo de donde esté sentada la mujer.

120 × 5 = 600 maneras.

Y como tenemos 5 mujeres, la situación anterior se repite en las demás así que el resultado anterior se vuelve a multiplicar por 5.

600 × 5 = 3.000 maneras  (resultado parcial que reservo)

Esto es aplicable igualmente a la situación nº 4 inversa a la que acabo de calcular ya que tendré un hombre y cuatro mujeres así que el resultado anterior puedo duplicarlo para contabilizar conjuntamente la situación 1ª y la 4ª

3000 × 2 = 6.000 maneras.

Para la situación 2ª que en esos 5 asientos se sienten dos mujeres y 3 hombres, habrá que usar las variaciones tanto para las 5 mujeres tomadas de 2 en 2 y para los hombres tomados de 3 en 3 para después multiplicar los resultados.

Mujeres:

VARIACIONES DE 5 ELEMENTOS TOMADOS DE 2 EN 2

$V_5^2=\dfrac{5!}{(5-2)!} =\dfrac{5!}{3!} =\dfrac{5*4*3!}{3!} =20\ maneras$

Hombres:

VARIACIONES DE 5 ELEMENTOS TOMADOS DE 3 EN 3

$V_5^3=\dfrac{5!}{(5-3)!} =\dfrac{5!}{2!} =\dfrac{5*4*3*2!}{2!} =60\ maneras$

Multiplico los resultados:

20 × 60 = 1.200 maneras.

Y tengo lo mismo que en la primera parte del ejercicio ya que esta 2ª situación es idéntica a la 3ª pero con los géneros cambiados así que me queda duplicar lo anterior para finalmente sumarlo a lo que me salió en la primera parte.

1200 × 2 = 2.400 maneras

Efectúo la suma:

6000 + 2400 = 8.400 maneras en total.

Saludos.