Question

¿Una funcion polinomica de grado 5 debe tener exactamente 5 raices distintas? justificar

Answer 1

no necesariamente si te refieres a los polinomios en los números reales, por ejemplo:
            $P(x)=(x-1)^5=x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$

Como puedes ver, solo tiene una raíz en los números reales.

Otra cosa es en los números complejos.

Una propiedad de las raíces complejas es si un polinomio de grado superior a 1 tiene una raíz compleja, entonces también tiene como raíz a su conjugado.

Por otra parte un polinomio de grado 5 no puede tener todas sus raíces complejas, por que de ser así 2 pares son raíces conjugadas y una raíz compleja, pero por el teorema enunciado en cursiva, también tendría a su conjugado, haciendo un total de 6 raíces contradiciendo al grado del polinomio (esta demostración se denomina, Reducción al absurdo)

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Ahora supongamos que un polinomio tenga menos de 5 raíces, es decir uno de la forma $P_1(x)=x-a$ , $P_2=(x-a_1)(x-a_2)$, $P_3(x)=(x-b_1)(x-b_2)(x-b_3)$ o bien $P_4(x)=(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)(x-c_4)$

Notarás que al expandirlas todos los polinomio $P_i$ son de grados menores que 5, y no pueden representar por tanto un polinomio de grado 5. Por ende, un polinomio de 5 grado no puede tener menos de 5 raíces distintas.

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¿Y podrá tener más de 6 raíces? pues no. Si sucediese que tiene 6 raíces, tendremos un polinomio de la forma

         $P(x)=(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)(x-r_5)(x-r_6)$

que al expandirlo tendrás un polinomio de grado 6.Por lo tanto no puede tener más de 6 raíces distintas.

Por ende, si un polinomio de 5 grado tiene todas sus raíces distintas, el número de raíces es 5.