Si una pista de atletismo tiene forma elíptica, halle la ecuación canónica de dicha elipse si sabemos que el área que encierra dicha pista tiene un ancho de 2 km y de largo 4 km.
porfa
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06.10.2017
Matemáticas
Bachillerato
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Contestada
3. Una pista de atletismo tiene forma de elipse de 100 m de largo y 50 metros de ancho. ¿Qué ancho tiene a 20 metros del extremo en el semieje mayor?
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Primero recordemos la ecuacion de la elipse con centro en el origen:
(X²/a²) + (Y²/b²) = 1
Donde a = (Longitud del semieje mayor)/2
b = (Longitud del semieje menor)/2
Como tenemos las longitudes de los ejes mayor y menor
a = 100 m/2 = 50 m
b = 50 m/2 = 25 m
Reemplazamos los valores de a y b en la ecuacion:
a² = 50² = 2500
b² = 25² = 625
Ecuacion de la elipse:
(X²/2500) + (Y²/625) = 1
(X²/2500) + (Y²/625) = [X² + 4Y²]/2500 = (X² + 4Y²)/2500
(X² + 4Y²)/2500 = 1
X² + 4Y² = 2500
4Y² = 2500 - X²
Y² = (2500 - X²)/4
Y² = 625 - X²/4
Y = +/-√(625 - X²/4)
Como nos piden el ancho a 20 metros del extremo significa que es a 50 - 20 = 30 metros del centro.
Hacemos a X = 30
Y = +/-√[625 - (30)²/4)
Y = +/-√[625 - 900/4]
Y = +/-√[625 - 225]
Y = +/-√400
Y = +/- 20
Osea que cuando X = 30, Y puede ser -20 o 20
Nos quedan los puntos: (30 , -20) y (30 , 20)
Y para hallar el ancho a esa hallamos la distancia entre dos puntos:
d = √[(X2 - X1)² + (Y2 - Y1)²]
Donde: X1 = 30 ; Y1 = -20; X2 = 30; Y2 = 20
d = √[(30 - 30)² + (20 - (-20))²]
d = √[(0)² + (20 + 20)²]
d = √[ (40)²]
d = √(40)²
d = 40 metros
Rta: El ancho que hay a 20 metros del extremos es de 40 metros
Te anexo grafica de la situacion en pdf
Explicación paso a paso:
