Question

AYUDA CON DERIVADAS!!
Considera que tienes un terreno rectangular el cual deseas cercar. El terreno ya cuenta con dos muros que lo rodean, por lo que sólo necesitas cercar los dos restantes. Para lograrlo cuentas con 120 metros de cerca y quieres saber de qué manera puedes usarla para cubrir la mayor área rectangular posible dentro del terreno.

Answer 1

Supongamos que las dimensiones del rectángulo sean X e Y
ya tenemos x + y = 120
lo que nos piden es A = xy que sea máximo

entonces despejemos y de la primera ecuación:
                                            y = 120 - x

Por lo tanto el área será: $A(x)=x(120-x)$
desarrollando...
                               $A(x)=120x-x^2$

De aquí hay dos formas de hallar el máximo: o bien con la teoría básica de números reales o por derivadas, yo lo haré por la teoría básica.

        $A(x)=120x-x^2\\ \\ A(x)=-(x^2-120x)\\ \\ \text{completando cuadrados:} \\ \\ A(x)=-[(x-60)^2-3600]\\ \\ A(x)=-(x-60)^2+3600\\ \\ \text{se sabe que: }a^2\geq 0\;,\; \forall a\in \mathbb R\text{ por ello}\\ \\ (x-60)^2\geq 0\\ -(x-60)^2\leq 0\\ 3600-(x-60)^2\leq3600\\ \\ \boxed{A(x)\leq 3600}$

Por lo tanto el área máxima es A = 3600 m2

esto se logra con x = 60 m, y por consiguiente y = 60 m 

Respuesta: la forma del terreno cercado será un cuadrado de lado 60 m

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Ahora si quieres por derivadas, partimos de la función área
                               $A(x)=120x-x^2$

Derivas con respecto a $x$

                                  $A'(x)=120-2x$

Luego debes hallar los puntos críticos, esto es igualando la derivada a 0

                                  $120-2x = 0\\ x=60$

tenemos que x = 60 m es el punto crítico, el siguiente paso es verificar que este sea un punto de máximo:

si x < 60 se tiene que A'(x) > 0, por consiguiente A(x) es creciente
si x > 60 se tiene que A'(x) < 0, por consiguiente A(x) es decreciente

más o menos la gráfica se vería / \ (crec - decrec) lo que es un indicio que x = 60 m es un punto de máximo. Y el resto ya es como se indicó en el primer método.

Answer 2

Un lado del rectángulo es x y otro es y, Función objetivo: x(y). Función restricción: x+y=120 Desarrollandolo Y=120-x, X(120-x)=120x-x2 Derivando a x: 120-2x=0, 120=2x, 60=x Sustituyendo 60+y=120, y=120-60, y=60 Él rectángulo debe tener sus dos lados de 60