Question

1) José y Albert ven desde las puertas de sus casas un edificio, bajo un Angulo de 50° y 65°. La distancia entre sus casas es de 146m y el edificio esta situado entre sus casas. Hallar la altura del edificio (AYUDEN PLSSS)

Answer 1

El edificio tiene una altura de aproximadamente 111,85 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Configuramos dos imaginarios triángulos rectángulos.  

El primer imaginario triángulo rectángulo ABC = José, ubicado a la izquierda

El cual está conformado por el lado BC que equivale a la altura del edificio, el lado AB que representa la distancia sobre la línea del suelo del observador - en este caso José - desde la puerta de su casa hasta el edificio - donde no conocemos esa distancia -a la cual llamaremos variable x-, y el lado AC es la proyección visual hasta el extremo superior del edificio bajo un ángulo de elevación de 50°.  

El segundo imaginario triángulo rectángulo BCD =  Albert, ubicado a la derecha

El cual está conformado por el lado BC que equivale a la altura del edificio, el lado BD que representa la distancia sobre la línea del suelo del observador - en este caso Albert - desde la puerta de su casa hasta el edificio - donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción de ella, y el lado CD es la proyección visual hacia la parte superior del edificio con un ángulo de elevación de 65°.  

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos

• Distancia entre los observadores = 146 metros

• Distancia de los observadores al edificio  = x y 146 m - x

• Ángulo de elevación = 50°

• Ángulo de elevación = 65°  

• Debemos hallar la altura del edificio = lado BC = y

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable y.  

Donde "x" será la distancia a hallar sobre la línea horizontal hasta el edificio, que equivale al lado AB del primer triángulo rectángulo.

Y dónde la incógnita "y" será la altura del edificio que es igual a la medida del lado BC de ambos triángulos rectángulos.  

La tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de elevación y nos piden hallar la altura del edificio, vamos a relacionar los datos con la tangente.

Conocemos parcialmente el lado BD, y desconocemos el lado AB = incógnita "x"

Dónde el lado BC equivale a la altura del edificio =  incógnita "y"

Planteamos un sistema de ecuaciones

$\boxed {\bold { tan (50)\° = \frac{y}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to y = \ x \ . \ tan(50)\° }}$

$\boxed {\bold { tan (65)\° = \frac{y}{146 - x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to y = \ (146-x )\ . \ tan(65)\° }}$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x

$\boxed {\bold { \ x \ . \ tan(50)\° =\ (146-x )\ . \ tan(65)\° }}$

$\boxed {\bold { \ x \ . \ tan(50)\° =\ 146\ . \ tan(65)\° - \ x\ . \ tan(65)\° }}$

$\boxed {\bold { \ x \ . \ tan(50)\°\ + \ x\ . \ tan(65)\° =\ 146\ . \ tan(65)\° }}$

$\boxed {\bold { \ x \ . \ (tan(50)\°\ + \ tan(65)\°) =\ 146\ . \ tan(65)\° }}$

$\boxed {\bold { \ x = \frac{ 146\ . \ tan(65)\° }{ \ tan(50)\°\ + \ tan(65)\° } }}$

$\boxed {\bold { \ x = \frac{ 146\ . \ 2,1445069205095 }{ \ 1,1917535925942 \ + \ 2,1445069205095 } }}$

$\boxed {\bold { \ x = \frac{ \ 313,09801039438 }{ \ 3,3362605131037 } }}$

$\boxed {\bold { \ x \approx \ 93,84699 \ metros }}$

$\boxed {\bold { \ x \approx \ 93,85 \ metros }}$

La medida del lado AB = x es de ≅ 93,85 metros

Hallando la altura del edificio  

Si  

$\boxed {\bold { y = \ x \ . \ tan(50)\° }}$

Y

$\boxed {\bold { \ x = \frac{ 146\ . \ tan(65)\° }{ \ tan(50)\°\ + \ tan(65)\° } }}$

Reemplazando

$\boxed {\bold { \ y = \frac{ 146\ . \ tan(65)\° \ . \ tan(50)\° }{ \ tan(50)\°\ + \ tan(65)\° } }}$

$\boxed {\bold { \ y = \frac{ 146\ . \ 2,1445069205095 \ . \ 1,1917535925942 }{ \ 1,1917535925942 \ + \ 2,1445069205095 } }}$

$\boxed {\bold { \ y = \frac{ 373,13667872160 }{ \ 3,3362605131037 } }}$

$\boxed {\bold { \ y \approx \ 111,84607 \ metros }}$

$\boxed {\bold { \ y \approx \ 111,85 \ metros }}$

La altura del edificio es de ≅ 111,85 metros

Aunque en el enunciado no lo han impuesto, en esta clase de problema el preguntar a que distancia se encuentran cada uno de los observadores del objeto son preguntas de uso habitual, siendo clásicas preguntas de examen    

Por lo tanto lo vamos a determinar

Hallando a que distancia del edificio se encuentra cada uno de los observadores

La distancia de José al edificio equivale a la longitud del lado AB  = x que calculamos anteriormente

La medida del lado AB = x es de ≅ 93,85 metros

José se encuentra a ≅ 93,85 metros del edificio

La distancia de Albert al edificio equivale a la longitud del lado BD

BD = 146 metros - x

BD = 146 metros - 93,85 metros

BD ≅ 52,15 metros

Albert se encuentra a ≅ 52,15 metros del edificio