Encuentre las dimensiones de un cilindro circular derecho de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio 7.
Respuestas
Hola..!
La pregunta:
Encuentre las dimensiones de un cilindro circular derecho de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio 7.
________________________________________________
Procedemos a resolver:
Obsérvalo
Comprueba en el archivo adjunto para el diagrama.
Comenzamos.
El volumen de un cilindro circular derecho = πr²h
r ⇒es el radio del cilindro
h ⇒es la altura del cilindro
V = πr²h ... 1
A partir del diagrama, podemos usar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo para obtener r². Desde el triángulo P² = r² + (h / 2) ²
P⇒ es el radio de la esfera.
P= 7
7² = r² + (h / 2) ²
r² = 49- (h / 2) ² ... 2
Sustituyendo la ecuación 2 en 1:
V = π (49- (h / 2) ²) h
V = π (49h-h³ / 4) ... 3
Para obtener la altura h del cilindro, necesitamos diferenciar el volumen del cilindro con respecto a h e igualarlo a cero. es decir, dV / dh = 0 ya que es el volumen máximo.
dV / dh = π (49-3h² / 4)
0 = π (49-3h² / 4)
Dividiendo ambos lados por π
0 / π = π (49-3h² / 4) / π
49-3h² / 4 = 0
49 = 3h² / 4
3h² = 49 × 4
3h² = 196
h² = 196/3
h = √196 / √3
h = 14 / √3
Para obtener el radio del cilindro, sustituiremos h = 14 / √3 en la ecuación 2
r² = 49- (h / 2) ²
r² = 49 - {(14 / √3) / 2} ²
r² = 49- {14 / 2√3} ²
r² = 49- (7 / √3) ²
r² = 49 - 49/3
r² = (147-49) / 3
r² = 98/3
r = √98 / √3
r = √49 × √2 / √3
r = 7√2 / √3
r = 7√2 / √3 × √3 / √3
r = 7√6 / 3
La altura de los cilindros circulares derechos es 14 / √3 y su radio es 7√6 / 3.
Conclusiones:
La altura del cilindro circular derecho es 14 / √3 y su radio es 7√6 / 3.
Saludos
