Question

Resuelve para x ∈ Ν, y ∈ Ν lo siguiente: 24x + 37y = 2989. Halla la suma de los valores que toma x.

Answer 1

Los valores que toma 'x' son 12,49,86 y 123, mientras que 'y' toma los valores 1,25,49 y 73 y la suma de los valores de 'x' es 270.

Explicación paso a paso:

Si las dos variables tienen que ser naturales podemos reescribir la ecuación de esta forma:

24x=2989-37y

Para que 'x' pueda ser natural, el segundo miembro tiene que dar como resultado un múltiplo de 24. Con lo cual 'y' tiene que ser impar.

Los múltiplos de 24 son múltiplos a la vez de 3 (sus cifras suman un múltiplo de 3) y de 8 (tienen en sus últimas 3 cifras un múltiplo de 8).

Empezamos con y=1:

2989-37=2952

Es múltiplo de 24, en efecto es 24x123, un primer par de valores es x=123; y=1. Ahora si a 2952 le restamos un múltiplo de 24, hallaremos otro múltiplo de 24. Para ello hacemos.

24x=2989-37y

24x=2989-37.1-37.24

24x=2952-37.24

24x=2989-25.37

El resultado del segundo miembro da 2064 que es 24x86, entonces otro par es x=86; y=25.

El siguiente par lo hallamos restándole a 2064 un múltiplo de 24 y queda:

24x=2064-37.24

24x=2989-37.25-37.24

24x=2989-37.49

Y queda con x=49 e y=49. Si seguimos nos damos cuenta que los valores de 'y' y de 'x' siguen las progresiones:

y=1+24n

x=123-37n

Donde 'n' puede ir de 0 a 3. La suma de los valores de x es entonces:

$\sum^{3}_{i=0}(123-37i)=4.123-\sum^{3}_{i=0}37i=492-37\sum^{3}_{i=0}i=492-37.6\\\\\sum^{3}_{i=0}(123-37i)=270$