Question

La figura que a continuación se muestra está formada por un cuadrado grande y un rectángulo en su interior. a) Indica la expresión algebraica que corresponde al área sombreada. b) Analizando la respuesta de la parte a), Juan dice “La expresión del área sombreada se cumple para cualquier valor de m > 0”. ¿Es correcto lo que dice Juan? Explica tu respuesta. c) Calcula para m = 5, ¿cuánto más es el perímetro del cuadrado que el perímetro del rectángulo?

Answer 1

La expresión del área del área sombreada es $A=5m^2-12m+8$, Juan no está en lo correcto porque para que la expresión sea válida tiene que ser m>4, y con m=5, el perímetro del cuadrado es 32 unidades mayor que el del rectángulo.

Explicación paso a paso:

a) El área sombreada es la diferencia entre el área del cuadrado y la del rectángulo por lo que la misma queda:

$A=(3m-2)^2-(2m+2)(2m-2)=9m^2-12m+4-(4m^2-4)\\\\A=5m^2-12m+8$

b) Para que la expresión tenga sentido físico ninguna de las dimensiones puede ser negativa, donde se puede hacer negativa una dimensión tenemos:

2m-2=0

m=1

3m-2=0

m=3/2

Con lo que m tiene que ser mayor que 3/2. Y a su vez no puede ser ninguno de los lados del rectángulo más grande que el lado del cuadrado, por lo que tenemos:

3m-2>2m-2

3m-2+2>2m-2+2

3m>2m

3m-2>2m+2

3m>2m+4

m>4

Con lo cual de todas las condiciones queda que m tiene que ser mayor que 4 para que la expresión del área sea válida.

c) Si es m=5, la diferencia entre los perímetros del cuadrado y del rectángulo queda:

D=4(3m-2)-[2.(2m-2)+2(2m+2)]

D=4(3m-2)-2.(2m-2)-2(2m+2)

D=12m-8-4m+4-4m-4

D=8m-8=8.5-8

D=32