Asignatura: Matemáticas
Autor: gatos12332
hace 6 años

¿Cuántos números de cuatro cifras cumplen con
las siguientes condiciones: al ser divididos entre
7, el resto es 1; al ser divididos entre 9, el resto
es 2, y al ser divididos entre 10, el resto es 9;
además dichos números terminan en cifra 9?

Respuestas

Respuesta dada por: JuanCarlosAguero

La respuesta a tu problema sobre divisibilidad:

Hay 14 números que cumplen esas condiciones

Resolución:

Analizamos la primera frase " al ser dividido entre 7, el resto es 1 " , entonces el número es un múltiplo de 7 más 1

$\mathsf{\to \: \: \: N = \overset{o}{7} + 1 }$

Hacemos lo mismo para las otras frases:

$\mathsf{\to \: \: \: N = \overset{o}{9} + 2}$

$\mathsf{\to \: \: \: N = \overset{o}{10} + 9 }$

El siguiente paso es hacer que los números de la derecha sean los mismos en las tres expresiones , para eso consideremos lo siguiente:

Al sumar un múltiplo de 7 más un múltiplo de 7 siempre nos da como resultado un múltiplo de 7, ejemplos

$\mathsf{\to \: \: \: \overset{o}{7} + 7 = \overset{o}{7} }$

$\mathsf{ \to \: \: \: \overset{o}{7} + 2(7) = \overset{o}{7} }$

$\mathsf{ \to \: \: \: \overset{o}{7} + 3(7) = \overset{o}{7} }$

Lo mismo pasa para los demás casos:

La idea está en hacerlo al revés osea reescribir un múltiplo de 7 como la suma de dos múltiplos de 7 ( Nota: el siete solo es un ejemplo)

$\mathsf{\to \: \: \: \overset{o}{7} = \overset{o}{7} +7}$

$\mathsf{ \to \: \: \: \overset{o}{7}= \overset{o}{7} +2(7)}$

$\mathsf{ \to \: \: \: \overset{o}{7}= \overset{o}{7} +3(7)}$

Regresando al problema:

$\mathsf{\to \: \: \: N = \overset{o}{7} + 1 }$

$\mathsf{\to \: \: \: N = \overset{o}{9} + 2}$

$\mathsf{\to \: \: \: N = \overset{o}{10} + 9 }$

Tienes que estar buscando los números que debes sumar ( no hay fórmula para eso ) , tienes que ir probando de tal manera que obtengas el mismo número al lado derecho en los tres casos:

Después de ir probando , nos quedaría así:

$\mathsf{\to \: \: \: N = \overset{o}{7} +4(7)+ 1 }$

$\mathsf{\to \: \: \: N = \overset{o}{9}+3(9) + 2}$

$\mathsf{\to \: \: \: N = \overset{o}{10} +2(10)+ 9 }$

Al operar nos da exactamente lo que queremos:

$\mathsf{\to \: \: \: N = \overset{o}{7} +29 }$

$\mathsf{\to \: \: \: N = \overset{o}{9}+29}$

$\mathsf{\to \: \: \: N = \overset{o}{10} +29 }$

El siguiente paso es aplicar una propiedad:

$\mathsf{\to \: \: \: N = \overset{o}{ \overline{MCM( 7;9;10)}} +29 }$

$\mathsf{\to \: \: \: N = \overset{o}{ 630} +29 }$

La expresión de múltiplo de 630 la podemos cambiar por 630k ( en donde k pertenece a los enteros)

$\mathsf{\to \: \: \: N = 630k+29 }$

Se sabe que el número N es de 4 cifras osea:

$\mathsf{ 1000 \leqslant N \leqslant 9999 }$

$\mathsf{ 1000 \leqslant 630k + 29 \leqslant 9999 }$

$\mathsf{ 1000 -29\leqslant 630k \leqslant 9999-29 }$

$\mathsf{ 971\leqslant 630k \leqslant 9970 }$

$\mathsf{ \frac{971}{630} \leqslant k \leqslant \frac{9970}{630} }$

$\mathsf{ 1,54 \leqslant k \leqslant 15,825 }$

Si "k" debe ser entero, entonces:

$\mathsf{ 2 \leqslant k \leqslant 15 }$

Los valores de "k" son:

$\mathsf{ Max - Min +1 = 15-2 +1 = 14}$

Recordamos la siguiente expresión:

$\mathsf{\to \: \: \: N = 630k+29 }$

Si hay 14 valores para "k", entonces también habrá 14 valores para "N"

Último requisito: "debe terminar en 9"

$\mathsf{\to \: \: \: N = 630k+29 }$

Como 630 termina en cero, entonces 630k también termina en cero , pero si le sumo un número que termina en nueve , entonces 630k+29 siempre terminará en nueve, por lo tanto no hay nada que restringir y los 14 valores no cambian , así que esa es la respuesta:

Respuesta dada por: romaynaloayzaheypril

Respuesta:

hay 14 numeros

Explicación paso a paso:

al ser divididos entre 7,el resto es 1 ⇒ multiplo de 7 + 29

al ser divididos entre 9,el resto es 2 ⇒ multiplo de 9 + 29

al ser divididos entre 10,el resto es 9 ⇒ multiplo de 10 + 29

sacamos minimo comun multiplo

7 9 10 l 2

7 9 5 l 3

7 3 5 l 3

7 1 5 l 5