Question

dentro de 32 años la edad de rosita sera un cuadrado perfecto, pero hace 10 años su edad era la raiz de ese cuadrado. Hallar la suma de las cifras de la edad actual de rosita

Answer 1

Respuesta:

La suma de las cifras de la edad actual es 8.

La edad actual es 17

Explicación paso a paso:

R es la edad actual de Rosita

R+32, es la edad de Rosita dentro de 32 años

$X^{2}$  es el cuadrado perfecto

R-10 era la edad de Rosita hace 10 años

X es la raíz del cuadrado perfecto.

Ensamblo las ecuaciones:

$R+32=X^{2}\\X=\sqrt{R+32}\\R-10=X$

Tengo dos cantidades iguales a X, las puedo igualar entre sí:

$\sqrt{R+32}=R-10$

Elevo ambas expresiones al cuadrado, para eliminar la raíz:

$R+32=(R-10)^{2}$

Resuelvo el binomio al cuadrado

$R+32=R^{2}-20R+100$

Paso lo de la izquierda a la derecha, e igualo a cero

$R^{2}-20R-R+100-32=0\\R^{2}-21R+68=0$

Resuelvo la ecuación cuadrática:

$R=\frac{21+\sqrt{169}}{2}=\frac{21+13}{2}=\frac{34}{2}=17$

La edad actual de Rosita es 17 años

La suma de sus cifras es 1+7 =8

Answer 2

La edad actual de Rosita es de 17 años. Siendo la suma de sus cifras 1 + 7 = 8

Procedimiento:

Llamamos

x = Edad Actual de Rosita

x + 32 = Edad de Rosita en 32 años

x - 10 = Edad de Rosita hace 10 años

Dentro de 32 años la edad de Rosita será un cuadrado perfecto

x + 32 = y²

Hace 10 años la edad de Rosita era la raíz de ese cuadrado

x - 10 = √y²   ⇒ x -10 = y

Tenemos un sistema de dos ecuaciones

$\boxed {\bold { x + 32 = y^{2} }}$

$\boxed {\bold { x -10 = y }}$

Sustituimos en la primera ecuación a y = x -  10

$\boxed {\bold { x + 32 = (x-10)^{2} }}$

$\boxed {\bold { x + 32 = (x-10) (x-10) }}$

Expandimos la ecuación

$\boxed {\bold { x + 32 = x \ . \ x \ + \ x \ . -10 \ - \ 10x \ - \ 10 \ . \ -10 }}$

Simplificamos y agrupamos términos semejantes

$\boxed {\bold { x + 32 = x ^{2} -10x - 10x + 100 }}$

$\boxed {\bold { x + 32 = x ^{2} - 20x + 100 }}$

$\boxed {\bold { x ^{2} - 20x + 100 - x - 32 = 0 }}$

$\boxed {\bold { x ^{2} - 21x + 68 = 0 }}$

Tenemos una ecuación de segundo grado

Donde a = 1, b = - 21 y c = 68

Empleamos la fórmula cuadrática y resolvemos para x

$\boxed {\bold { \frac{ -b \pm\sqrt{ b^{2} - 4ac } }{ 2a } }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{ 21 \pm\sqrt{ (-21)^{2} - 4 \ . (1 \ . \ 68) } }{ 2 \ . \ 1 } }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{ 21 \pm\sqrt{ 441 - 4 \ . \ 68 } }{ 2 } }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{ 21 \pm\sqrt{ 441 - 272 } }{ 2 } }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{ 21 \pm\sqrt{ 169 } }{ 2 } }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{ 21 \pm\sqrt{ 13^{2} } }{ 2 } }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{ 21 \pm\ 13 }{ 2 } }}$

$\boxed {\bold { x_{1} = 17 }}$

$\boxed {\bold { x_{2} = 4 }}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones

$\boxed {\bold { x = 17,4 }}$

Curiosamente si sumamos 32 a cada uno de los valores hallados para x obtendremos un cuadrado perfecto

$\boxed {\bold { x_{1} = 17 + 32 = 49 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \ cuadrado \ perfecto }}$

$\boxed {\bold { x_{2} = 4 + 32 = 36 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \ cuadrado \ perfecto }}$

No obstante tomamos como valor de x a 17

$\boxed {\bold { x = 17 }}$

Por lo tanto la edad actual de Rosita es de 17 años

Si tomásemos el otro valor positivo de x ⇒ x = 4, hace 10 años atrás Rosita aún no habría nacido

Tomamos la segunda ecuación y resolvemos para y

$\boxed {\bold { x -10 = y }}$

Reemplazamos por el valor hallado de x

$\boxed {\bold { 17 -10 = 7 }}$

$\boxed {\bold { y = 7 }}$

Resultando ser 7 la raíz del cuadrado perfecto que tendrá Rosita de edad dentro de 32 años = 17 + 32 =  49

Concluyendo que la edad actual de Rosita es de 17 años

Donde dentro de 32 años la edad actual de Rosita será un cuadrado perfecto = 49,

Y hace 10 años su edad era la raíz de ese cuadrado √49 = 7