Para las preguntas 13-15, Sea Z1 = 2 (cos (pi / 5) + i Sin (pi / 5)) Y Z2 = 8 (cos (7pi / 6) + i Sin (7pi / 6)). Calcule lo siguiente manteniendo su respuesta en forma polar. 13. z1z2 14. z2 15. z1 / z2
Respuestas
Hola..!
Solución
Dados los siguientes valores complejos Z₁ = 2 (cos (π / 5) + i Sin (πi / 5)) Y Z₂ = 8 (cos (7π / 6) + i Sin (7π / 6)). Debemos calcular los siguientes números complejos
a) Z₁Z₂ = 2 (cos (π / 5) + i Sin (πi / 5)) * 8 (cos (7π / 6) + i Sin (7π / 6))
Z₁Z₂ = 18 {(cos (π / 5) + i Sin (π / 5)) * (cos (7π / 6) + i Sin (7π / 6))}
Z₁Z₂ = 18 {cos (π / 5) cos (7π / 6) + icos (π / 5) sin (7π / 6) + i Sin (π / 5) cos (7π / 6) + i²Sin (π / 5) Pecado (7π / 6))}
ya que i² = -1
Z₁Z₂ = 18 {cos (π / 5) cos (7π / 6) + icos (π / 5) sin (7π / 6) + i Sin (π / 5) cos (7π / 6) -Sin (π / 5) Pecado (7π / 6))}
Z₁Z₂ = 18 {cos (π / 5) cos (7π / 6) -Sin (π / 5) Sin (7π / 6) + i (cos (π / 5) sin (7π / 6) + Sin (π / 5 ) cos (7π / 6))}
Desde la identidad de trigonometría, cos (A + B) = cosAcosB - sinAsinB y sin (A + B) = sinAcosB + cosAsinB
La ecuación se convierte:
= 18 {cos (π / 5 + 7π / 6) + isin (π / 5 + 7π / 6))}
= 18 {cos ((6π + 35π) / 30) + isin (6π + 35π) / 30))}
= 18 {cos ((41π) / 30) + isin (41π) / 30))}
b) el valor z2 ya se ha dado en forma polar y es equivalente a 8 (cos (7pi / 6) + i Sin (7pi / 6))
c) para z1 / z2 = 2 (cos (pi / 5) + i Sin (pi / 5)) / 8 (cos (7pi / 6) + i Sin (7pi / 6))
dejar A = pi / 5 y B = 7pi / 6
z1 / z2 = 2 (cos (A) + i Sin (A)) / 8 (cos (B) + i Sin (B))
Al racionalizar tendremos:
= 2 (cos (A) + i Sin (A)) / 8 (cos (B) + i Sin (B)) * 8 (cos (B) -i Sin (B)) / 8 (cos (B) - i Sin (B))
= 16 {cosAcosB-icosAsinB + isinAcosB-sinAsinB} / 64 {cos²B + sin²B}
= 16 {cosAcosB-sinAsinB-i (cosAsinB-sinAcosB)} / 64 {cos²B + sin²B}
De la identidad de trigonometría: cos²B + sin²B = 1
= 16 {cos (A + B) -i (sin (A + B)} / 64
= 16 {cos (pi / 5 + 7pi / 6) -i (sin (pi / 5 + 7pi / 6)} / 64
= 16 {(cos 41π / 30) -isin (41π / 30)} / 64
Z1 / Z2 = (cos 41π / 30) -isin (41π / 30) / 4
Saludos