Question

En un terreno se coloca en el punto (5, 2) un sistema de irrigación automático (que gira 360°) y el chorro en su máximo alcance llega hasta un punto (11, 4). De acuerdo con esta información, determine la ecuación de la circunferencia que describe el chorro de agua.

Answer 1

La ecuación de la circunferencia que describe el chorro de agua es

$\boxed {\bold { (x - 5 )^{2} + (y - 2 )^{2} = 40 }}$

Procedimiento:

La ecuación general de la circunferencia se puede expresar como dos binomios al cuadrado igual al radio al cuadrado, que es la forma de la ecuación ordinaria de la circunferencia

Recordemos la estructura de la ecuación ordinaria

$\boxed {\bold { (x -h)^{2} + (y -k)^{2} = r^{2} }}$

Si nos dicen que el sistema de irrigación automático (que gira 360°) se colocó en el punto (5,2) y el chorro tiene su máximo alcance en el punto (11,4)

Luego el centro de la circunferencia se encuentra en el punto (5,2)

$\boxed { \bold { Centro\ (5,2)}}$

Se necesita hallar el radio (r) de la circunferencia

El radio es cualquier recta que vaya desde el centro del círculo hasta un punto cualquiera de la circunferencia. En este caso, el radio (r) es la distancia entre  (5,2) y (11,4)

Hallando el radio de la circunferencia

Empleamos la fórmula de la distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$\boxed {\bold { Distancia = \sqrt{ ( x_{2} -x_{1})^{2} + (y_{2} -y_{1} )^{2} } }}$

Reemplazamos por los valores de los puntos dados

$\boxed {\bold { r = \sqrt{ ( 11 -5 )^{2} + (4 -2 )^{2} } }}$

$\boxed {\bold { r = \sqrt{ 6^{2} + 2^{2} } }}$

$\boxed {\bold { r = \sqrt{ 36 + 4 } }}$

$\boxed {\bold { r = \sqrt{ 40 } }}$

$\boxed {\bold { r = \sqrt{ 4 \ . \ 10 } }}$

$\boxed {\bold { r = \sqrt{ 2^{2} \ . \ 10 } }}$

$\boxed {\bold { r = 2 \sqrt{ 10} }}$

$\boxed {\bold { Radio = 2 \sqrt{ 10} }}$

El radio de la circunferencia es 2√10

Empleamos la fórmula de la ecuación de la circunferencia

Con radio r y (h,k) como centro

$\boxed {\bold { (x -h)^{2} + (y -k)^{2} = r^{2} }}$

Para este ejercicio r = 2√10 y el centro es (5,2)

Reemplazamos los valores

$\boxed {\bold { (x - (5) )^{2} + (y - (2) )^{2} = (2\sqrt{10} )^{2} }}$

$\boxed {\bold { (x - 5 )^{2} + (y - 2 )^{2} = 40 }}$