Question

Señala los procesos para obtener los valores exactos para los ángulos de 45°, 30° y 60°.

Answer 1

Hola :D

Para obtener los valores de las razones trigonométricas recurrimos a las figuras geométricas.

$\clubsuit$ Para el de $45$° nos vamos a guiar de un cuadrado, el cual tiene $4$ lados iguales y también sus ángulos, siendo cada uno de $90$°. Se va trazar una diagonal desde uno de sus vértices, siendo éste una bisectriz.

¿Qué es una bisectriz?

Es un trazo que hace que el ángulo se parta en $2$.

Nos daremos cuenta que debemos calcular la diagonal, a lo cual haremos uso del Teorema de Pitágoras, siendo la diagonal la hipotenusa.

Se obtiene el valor, después usamos las $3$ razones principales, hay otras $3$, pero no las tomaré en cuenta.

El procedimiento gráfico se encuentra en la primer imagen.

Luego, vemos que tenemos $2$ ángulos son de $45$°, puedes intentar aplicar las razones en cualquiera de los $2$, bueno, nos quedaría:

$\boxed{Sen\:45=\frac{1}{\sqrt{2} } }$

$\boxed{Cos\:45=\frac{1}{\sqrt{2} } }$

$Tan\:45=\dfrac{1}{1}\Rightarrow \boxed{Tan\:45=1}$

$\clubsuit$ El de $30$° y $60$° se calculan en uno solo.

Necesitamos de un triángulo equilatero, es decir, que tenga lados iguales y ángulos también. La longitud de sus lados es $2$ y cada ángulo mide $60$°.

Después trazamos la altura, la cual nos va a generar que tomemos la mitad del triángulo, por lo que el lado de abajo pasa de ser $2$ a ser $1$.

El ángulo se partirá en $2$, entonces, nos va a quedar: $30$°.

Obtenemos la altura, que en éste caso es uno de los catetos, recordemos que el Teorema de Pitágoras se define como:

"La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos",

Ejemplificando:

$h^{2}=a^{2} +b^{2} \rightarrow \boldsymbol{a,b=\textrm{Catetos}}$

Puedes despejar $a^{2}$ o $b^{2}$:

$a^{2}=h^{2}-b^{2}$ ⇔ $b^{2}=h^{2}-a^{2}$

En general debemos restar el cuadrado de la hipotenusa con el cuadrado del cateto.

En fin, ya obtenido el valor podemos encontrarlas razones:

$\boxed{Sen\:30=\frac{1}{2} }$

$\boxed{Cos\:30=\frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed{Tan\:30=\frac{1}{\sqrt{3} } }$

$\boxed{Sen\:60=\frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed{Cos\:60=\frac{1}{2} }$

$Tan\:60=\dfrac{\sqrt{3} }{1}\Rightarrow \boxed{Tan\:60=\sqrt{3} }$

El procedimiento gráfico se encuenttra en la segunda imagen.

Espero haberte ayudado,

Saludos cordiales, AspR178 !!!!