Question

de un grupo de artistas de 50 integrantes, se sabe que el numero de varones que cantan y bailan es la mitad de los varones que solo bailan, y estos son tantos como las mujeres que bailan y cantan; las mujeres que bailan y cantan son la mitad de las mujeres que solo cantan. si las personas que solo cantan son 14, las mujeres que cantan son 12 y las personas que no bailan ni cantan son 7, ¿cuantas personas cantan y bailan?

Answer 1

Respuesta:

Hay 6 personas que cantan y bailan

Explicación paso a paso:

El problema nos dice que de las 50 personas, hay 7 que no bailan ni cantan, es decir, hay 43 que hacen alguna de las dos cosas, o las dos.

Planteamos los siguientes nombres, para facilitar el trabajo:

Varones que bailan y cantan : VBC

Mujeres que bailan y cantan: MBC

Varones que sólo bailan : VSB

Mujeres que sólo bailan:  MSB

Varones que sólo cantan: VSC

Mujeres que sólo cantan: MSC

La suma de todos estos nos debe dar 43:

VBC+MBC+VSB+MSB+VSC+MSC=43

El problema nos da el dato de que hay 12 mujeres que cantan; es decir, ese conjunto está formado por las mujeres que bailan y cantan, más las mujeres que sólo cantan. Entonces:

MBC+MSC=12

Pero, si miramos el enunciado, encontramos que las mujeres que bailan y cantan son la mitad de las mujeres que sólo cantan. Entonces, reemplazamos en la igualdad anterior y tenemos:

$\frac{MSC}{2}+MSC=12$

Operamos:

$\frac{MSC+2MSC}{2}=12\\\\3MSC=24\\MSC=\frac{24}{3}\\MSC=8$

Ahora, ya sabemos que hay 8 mujeres que sólo cantan, así que podemos averiguar, cuántos son los varones que sólo cantan. Usamos el dato de que las personas que sólo cantan son 14 y de ahí despejamos:

VSC+MSC=14

VSC+8=14

VSC=14-8

VSC=6

Ahora, con el dato que ya tenemos de cuántas son las mujeres que sólo cantan, averigüemos cuántas son las mujeres que bailan y cantan.

El problema nos dice que las mujeres que bailan y cantan, son la mitad de las mujeres que sólo cantan. Es decir:

$MBC=\frac{MSC}{2}\\\\MBC=\frac{8}{2}=4$

Ya sabemos entonces que las mujeres que bailan y cantan son 4.

Ahora averigüemos, cuántos son los varones que bailan y cantan.

El problema dice que el número de varones que bailan y cantan, es la mitad de los varones que sólo bailan, pero que el total de los varones que sólo bailan es igual al número de mujeres que bailan y cantan. Y ya sabemos que el número de mujeres que bailan y cantan es 4

Por tanto: Si VSB=MBC, entonces VSB=4;  y si VBC = VSB/2, entonces

VBC=4/2, es decir VBC=2.

Es decir: hay 2 varones que bailan y cantan y 4 mujeres que bailan y cantan, y eso suma un total de 6 personas que cantan y bailan, con lo cual hemos dado respuesta a lo pedido.

PERO, averigüemos también cuántas mujeres sólo bailan

VBC+MBC+VSB+MSB+VSC+MSC=43

Reemplacemos:

2+4+4+MSB+6+8=43

Despejemos:

24+MSB=43

MSB=43-24

MSB = 19

Hay 19 mujeres que sólo bailan.

PRUEBA:

Varones que bailan y cantan : VBC =2

Mujeres que bailan y cantan: MBC =4

Varones que sólo bailan : VSB = 4

Mujeres que sólo bailan:  MSB = 19

Varones que sólo cantan: VSC = 6

Mujeres que sólo cantan: MSC= 8

Reemplacemos todos los valores para verificar si su suma da 43:

2+4+4+19+6+8=43

OK