Question

Transformada de Laplace f(t)= t si 0 ≤t <2 ; 1 si t≥2

Answer 1

Respuesta: $L\left\{f(t)\right\}=\frac{-2e^{-2s}}{s} -\frac{e^{-2s}}{s^2} +\frac{1}{s^2}$

Explicación paso a paso:

Por definicion:

$L\left\{t\right\}=\int ^{\infty }_{-\infty }f\left(t\right)e^{-st}dt=\int _0^2te^{-st}dt$

$\mathrm{Aplicando \;la\; sustitucion:}\:u=-st$

$=\int _0^{-2s}\frac{ue^u}{s^2}du$

$=\frac{1}{s^2}\cdot \int _0^{-2s}ue^udu$

$\mathrm{Aplicar\:integracion\:por\:partes:}\:u=u,\:v'=e^u$

$=\frac{1}{s^2}\left[e^uu-\int \:e^udu\right]^{-2s}_0$

$\mathrm{Calcular\:los\:limites}:\quad \left[e^uu-e^u\right]^{-2s}_0=-2se^{-2s}-e^{-2s}+1$

$=\frac{-2se^{-2s}-e^{-2s}+1}{s^2}$

$=\frac{-2e^{-2s}}{s} -\frac{e^{-2s}}{s^2} +\frac{1}{s^2}$

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Para el segundo caso t>2:

$L\left\{t\right\}=\int ^{\infty }_{-\infty }f\left(t\right)e^{-st}dt=\int _2^{\infty \:}te^{-st}dt$

$\int \:te^{-st}dt=\frac{1}{s^2}\left(-se^{-st}t-e^{-st}\right)$

Evaluando los limites para  ∞ y 2:

$=0-\frac{-2e^{-2s}s-e^{-2s}}{s^2}$

=$-\frac{-2e^{-2s}s-e^{-2s}}{s^2}$

=$-\frac{2e^{-2s}}{s}-\frac{e^{-2s}}{s^2}$

*Nota... Por tabla hubiera sido mucho mas facil... Pero no se exactamente que querias.