Question

a través de un teodolito,un topógrafo observa la cúspide de un edificio con un ángulo de elevación de 25°. si el teodolito mide 1,30 m de altura y la distancia desde el punto de observación hasta el pie del edificio es de 60m ¿cuál es la altura h del edificio?​

Answer 1

El edificio tiene una altura de aproximadamente 29,28 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.      

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a una porción de la altura del edificio, el lado BC que representa la distancia del observador al pie del edificio y el lado AC es la proyección visual del observador con el teodolito al edificio con un ángulo de elevación de 25°.

La visual del observador está a 1,30 metros del plano horizontal o plano del suelo

Por lo tanto calcularemos antes una porción de la altura del edificio.

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos la distancia del observador hasta el pie del edificio y de un ángulo de elevación de 25°

• Distancia del observador al pie del edificio  = 60 m

• Ángulo de elevación = 25°

• Altura del teodolito = 1,30 m

• Debemos hallar la altura del edificio

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como sabemos el valor del cateto adyacente (lado BC) que representa la distancia desde el punto de observación hasta el pie del edificio, asimismo conocemos el ángulo de elevación que se forma desde el observador hasta la cúspide del edificio, y se pide hallar la altura del edificio; podemos relacionar los datos que tenemos con la tangente.

Hallando una porción de la altura del edificio

$\boxed { \bold { tan(25)\° = \frac{ cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed { \bold { tan(25)\° = \frac{ porci\'on \ altura \ edificio }{ distancia \ al \ edificio } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed { \bold { porci\'on \ altura \ edificio \ (AB) = distancia \ al \ edificio \ . \ tan(25)\° } } }}$

$\boxed { \bold { porci\'on \ altura \ edificio \ (AB) = 60\ metros \ . \ tan(25)\° } } }}$

$\boxed { \bold { porci\'on \ altura \ edificio \ (AB) = 60\ metros \ . 0,4663076581549 } } }}$

$\boxed { \bold { porci\'on \ altura \ edificio \ (AB) \approx27,98 \ metros \ . } } }}$

La porción de altura del edificio desde donde está el observador con el teodolito es de  aproximadamente 27,98 metros

Hallando la altura del edificio

Para obtener la altura total del edificio, le debemos sumar a la porción de altura hallada la altura del teodolito

$\boxed { \bold { porci\'on \ altura \ edificio \ (AB) \ + altura \ teodolito\ (CD) }}$

Reemplazamos

$\boxed { \bold { 27,98 \ metros \ + \ 1,30 \ metros = 29,28 \ metros }}$

La altura del edificio es de aproximadamente 29,28 metros