Hallar el vértice, el foco y la ecuación de la recta directriz de la
cónica:
4y^2 – 32x – 12y + 73 = 0
Respuestas
Respuesta:
V(2; 3/2)
F(4; 3/2)
x= 0
Explicación paso a paso:
La cónica: 4y² - 32x - 12y + 73 = 0
tiene:
Vértice = (h, k) = (2, 3/2)
Foco = (4, 3/2)
Directriz: x = 0
Explicación paso a paso:
La parábola en estudio tiene ecuación:
4y² - 32x - 12y + 73 = 0
Completando cuadrados
4(y² - 3y) - 32x + 73 = 0 ⇒
4[(y - 3/2)² - (3/2)²] - 32x + 73 = 0 ⇒
4[(y - 3/2)² - 9/4] = 32x - 73 ⇒ 4(y - 3/2)² - 9 = 32x - 73 ⇒
(y - 3/2)² = (1/4)(32x - 64) ⇒ (y - 3/2)² = 8x - 16 ⇒
(y - 3/2)² = 8(x - 2)
Es una parábola de eje horizontal cuya ecuación canónica es de la forma:
(y - k)² = ±4p(x - h)
donde:
(h, k) es el vértice de la parábola
4p es la longitud del lado recto
p es la distancia, medida sobre el eje de la parábola, vértice-directriz y vértice-foco.
Comparando con la parábola dada:
(h, k) = (2, 3/2)
4p = 8 ⇒ p = 2
El eje de la parábola es el eje de las x. La parábola abre en sentido positivo; es decir, a la derecha.
El foco estará ubicado a 2 unidades de distancia del vértice medido sobre el eje en el sentido de abertura de la curva; o sea, que:
Foco = (4, 3/2)
La directriz es una recta perpendicular al eje que intercepta a este a 2 unidades de distancia del vértice medido sobre el eje en sentido contrario a la abertura de la curva; o sea, que:
Directriz: x = 0
Conclusión:
La cónica: 4y² - 32x - 12y + 73 = 0
tiene:
Vértice = (h, k) = (2, 3/2)
Foco = (4, 3/2)
Directriz: x = 0
Ver gráfica anexa
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