Question

calcula el valor de n,si M=27 x 10^n tiene 140 divisores compuestos.

Answer 1

Respuesta:

n = 5

Explicación paso a paso:

Sea el número:    $N=A^{a}*B^{b}*C^{c}*.............*P^{p}$   ⇒ Descomposición

                                                                                             Canónica

Donde:

A, B, C, ......, P: Números primos absolutos distintos entre sí (Factores primos o

divisores primos).

a, b, c, ......., p: Exponentes enteros positivos

Cantidad de divisores de N:   D(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1)............(p + 1)

Todo número entero positivo tiene como divisor común a la unidad, tiene divisores primos y también divisores compuestos, luego:

                    D(N) = 1 + D(Primos) + D(Compuestos) ........(i)

Del problema:  

M = 27*10ⁿ

D(Compuestos): 140

Descomponiendo el número:    M = 27*10ⁿ

                                                    M = 3³*(2*5)ⁿ

                                                    M = 3³*2ⁿ*5ⁿ

                                                    M = 2ⁿ*3³*5ⁿ

Cantidad de divisores:  D(M) = (n + 1)(3 + 1)(n + 1)

                                       D(M) = (n + 1)(4)(n + 1)

                                       D(M) = 4(n + 1)²

Tiene como divisores primos a 2, 3 y 5:    D(Primos) = 3

Sustituyendo en (i):        D(M) = 1 + D(Primos) + D(Compuestos)

                                  4(n + 1)² = 1 + 3 + 140

                                  4(n + 1)² = 144

                                    (n + 1)² = 144/4

                                    (n + 1)² = 36

                                       n + 1 = √36

                                       n + 1 = 6

                                            n = 6 - 1

                                            n = 5

Respuesta: n = 5

Espero haberte ayudado. :))