Question

PREGUNTA DE MATEMÁTICAS

1. a. Dada la recta r : x - 1 = 2y = 2z + 2 y los puntos P(- 1,2,0) y Q (5, b , c) ,
determine los valores de b y c para que la recta r sea paralela a la recta que pasa
por los puntos P y Q.

b. Determine el simétrico del origen O (0, 0, 0) respecto al plano x + y - z - 1 =0

FAVOR SU AYUDA URGENTE MIL BENDICIONES

FAVOR DESARROLLADO COMPLETO

Answer 1

a) La forma simétrica de la ecuación de una recta en el espacio es.

(x - xo)/a = (y - yo)/b = (z - zo)/c

donde (xo, yo, zo) son las coordenadas de un punto por donde pasa)

(a, b, c) son las coordenadas del vector director de la recta.

Para este caso es: (x - 1) / 1 = (y - 0) / (1/2) = (z + 1) / (1/2)

de modo que (1, 1/2, 1/2) es el vector director.

El vector que pasa por P y Q = PQ = OP - OQ = (- 1- 5; 2 - b; 0 -  c)

Dos vectores paralelos tienen sus coordenadas respetivamente proporcionales.

Por lo tanto:  - 6 / 1 = (2 - b) / (1/2) = (0 - c) / (1/2

Finalmente b = 8; c = 3

b) Necesitamos las coordenadas de punto de intersección de la recta normal al plano que pasa por el origen. Sea Q dicho punto. El vector normal al plano, paralelo a la recta normal, es N = (1, 1, - 1)

La forma simétrica de la ecuación de la recta es: (x - 0)/1 = (y - 0)/1 = (z - 0)/(- 1); o bien

x = y = - z; reemplazamos en la ecuación del plano.

x + x - x - 1 = 0;  x = 1;

El punto Q es entonces Q(1, 1, - 1)

Finalmente el vector posición del punto simétrico es OP = N  + QP

Pero por ser el punto simétrico QP = N

OP = (1, 1, - 1) + (1, 1, - 1) = (2, 2, - 2)

Finalmente el punto simétrico es P(2, 2, - 2) 

Saludos Herminio