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Respuesta:
Efectivamente, si quieres sumar las áreas independientemente y sin que se intersequen la fórmula está dada por:
Sum( i=1, 1/2 * Sqrt(i)), i in {1,..., n} . Pero descubrir la "regla" sería:
1/ 2 (sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(4) + ... + sqrt(n-1) + sqrt(n)). Pero utilicemos 1/2 (n(n-1) como la suma de los números naturales hasta n. Entonces tenemos:
1/2 (n(n-1) + (sqrt (2) + sqrt(3) + sqrt(5) + sqrt(6) + sqrt(7) + sqrt(8) + sqrt(10) + ... Aquí es en donde comienza el embrollo. Sabemos que los cuadrados de números naturales sucesivos no son sucesivos, es decir, si a = b+1 => a^2 > b^2. Entonces, si n es el cuadrado de un número entero positivo, entonces ...+sqrt (n-1). Pero entre más ilimitado sea n más difícil de calcular es la sumatoria, ya que tiende a infinito, y en el caso 1/2 (n(n-1)) la sumatoria es finita.
Si n = 9, tenemos : 1+ sqrt(2) +sqrt(3) +2 + sqrt(5) +sqrt(6) +sqrt(7) +sqrt(8) +3
= 6 + sqrt(2) +sqrt(3) + sqrt(5) +sqrt(6) +sqrt(7) +sqrt(8) = 6+ sqrt(2)*( 1+sqrt(3) +2) + sqrt(3) +sqrt(5) + sqrt(7)
= 6+ (sqrt(2)*(3+(sqrt(3))) +sqrt(3) +sqrt(5)+sqrt(7).
Explicación paso a paso: