Question

Alejandra dibujó en un plano cartesiano tres triángulos rectángulos, tal y como se muestra en la imagen triángulos rectángulos. Si = + 2, ¿cuáles deben ser los valores de y para que el triángulo tenga área igual a 50 unidades cuadradas?

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Answer 1

Respuesta a tu pregunta sobre ecuaciones y Teorema de Pitágoras

Los valores que satisfacen el problema son:

⇒ $a=6$   ⇒ $b=8$

Problema:

" Alejandra dibujó en un plano cartesiano tres triángulos rectángulos, tal y como se muestra en la imagen triángulos rectángulos. Si b= a + 2, ¿cuáles deben ser los valores de a y b para que el triángulo tenga área igual a 50 unidades cuadradas?"

Explicación paso a paso:

Partiremos de obtener cual es la distancia entre los puntos, la cual es dada por la formula:

$d= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 }$

Esto con el fin de obtener $d_1,d_2,d_3, d_4$ de la imagen adjunta, para poder posteriormente aplicar el Teorema de Pitágoras (ya que son triángulos rectángulos) y obtener $d_5, d_6$

Comencemos por d1 y así sucesivamente:

$d_1= \sqrt{(a-0)^2+(0-0)^2 }\\d_1= \sqrt{a^2}\\d_1= a$

d2:

$d_2= \sqrt{((a+b)-a)^2+(0-0)^2 }\\d_2= \sqrt{b^2}\\d_2= b$

Y recordemos que $b=a+2$, entonces:

$d_2=a+2$

d3:

$d_3= \sqrt{(0-0)^2+(b-0)^2 }\\d_3= \sqrt{b^2}\\d_3= b$

sustituyendo b:

$d_3= a+2$

d4:

$d_4= \sqrt{((a+b)-(a+b))^2+(a-0)^2 }\\d_4= \sqrt{a^2}\\d_4= a$

Ahora, apliquemos el teorema de Pitágoras para obtener las distancias faltantes. La formula es:

$a^2+b^2=c^2$

• a= cateto menor
• b= cateto mayor
• c= hipotenusa

Despejando c:

$c=\sqrt{a^2+b^2}$  

Adaptando a nuestro problema nos queda d5:

$d_5=\sqrt{d_{2}^2+d_{4}^2}\\d_5=\sqrt{(a+2)^2+(a)^2}$

Aplicamos la propiedad:

$(x+a)^2=x^2+2a+a^2$

$d_5=\sqrt{a^2+4a+4+a^2}\\d_5=\sqrt{2a^2+4a+4}$

$d_5=\sqrt{2(a^2+2a+2)}$

y d6:

$d_6=\sqrt{d_{3}^2+d_{1}^2}\\d_6=\sqrt{(a+2)^2+(a)^2}$

$d_6=\sqrt{a^2+4a+4+a^2}\\d_6=\sqrt{2a^2+4a+4}$

$d_6=\sqrt{2(a^2+2a+2)}$

Ahora que contamos con estas últimas dos distancias podemos calcular la expresión del área. El área de un triángulo rectángulo se expresa como:

$A=\frac{b*h}{2}$

En nuestro caso, lo expresaremos como:

$A_t=\frac{1}{2}d5*d6$

sustituyendo:

$A_t=\frac{1}{2}( \sqrt{2(a^2+2a+2)})*(\sqrt{2(a^2+2a+2))$

Como $d_5=d_6$ podemos aplicar la propiedad.

$\sqrt{x} * \sqrt{x} = x$

de forma que nos queda:

$A_t=\frac{1}{2}( 2(a^2+2a+2))\\A_t= a^2+2a+2$

Ahora, el problema nos pide que el área sea  $A_t=50u^2$

$50= a^2+2a+2\\a^2+2a-48=0$

ahora teniendo una ecuación con la forma $ax^2 + bx + c$, podemos aplicar la fórmula general, esto es:  

$\frac{-b \pm \sqrt{(b^2)-4ac}}{2a} \\=\frac{-(2) \pm \sqrt{(2^2)-4(1)(-48)}}{2(1)}\\=\frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2}\\\\=\frac{-2 \pm 14}{2}\\=-1 \pm 7$

De aquí obtendremos dos valores:

$a_1= -1+7=6\\a_2= -1-7=-8$

Sin embargo, en la figura apreciamos que nuestros triángulos están en el primer cuadrante, por lo tanto no puede ser -8, así que:

$a=6$

Finalmente recordemos que

$b= a + 2$

por lo tanto:

$b=8$

Answer 2

Para que el triángulo que dibujó Alejandra tenga área igual a 50 unidades cuadradas   a  debe valer  6  unidades y  b  debe valer  8  unidades.

Explicación paso a paso:

En la figura anexa se observa el dibujo de Alejandra al que se le agregaron las letras P y Q.  Estas letras representan la base y la altura del triángulo BDE, que es el triángulo de interés en el problema.

El área (A) de un triángulo se calcula multiplicando las longitudes de su base y su altura y dividiendo entre 2. En el caso estudio:

A(ΔBDE)  =  (P·Q)/2

P  es la hipotenusa del triángulo rectángulo  ABE  y  Q  es la hipotenusa del triángulo rectángulo  BCD.  En ambos casos se calculan sus valores aplicando el Teorema de Pitágoras:

(Hipotenusa)²  =  (Cateto 1)²  +  (Cateto 2)²

Entonces

P²  =  (AB)²  +  (AE)²  =  (a)²  +  (b)²

Q²  =  (BC)²  +  (CD)²  =  [(a  +  b)  -  a]²  +  (a)²  =  (b)²  +  (a)²

Podemos observar que  P  y  Q  son iguales, de manera tal que  

P·Q  =  P²  = (a)²  +  (b)²

Entonces, para que el área del triángulo sea 50 unidades:

A(ΔBDE)  =  (P·Q)/2  =  P²/2  = [(a)²  +  (b)²]/2  =  50

De aquí                       (a)²  +  (b)²  =  100

También sabemos que    b  =  a  +  2   por lo tanto

(a)²  +  (a  +  2)²  =  100

Aplicando binomio al cuadrado

a²  +  a²  +  4a  +  4  =  100    ⇒    2a²  +  4a  -  96  =  0    ⇒

a²  +  2a  -  48  =  0

Factorizando se tiene

a²  +  2a  -  48  =  0         ⇒           (a  +  8)(a  -  6)  =  0

De aquí       a  =  -8    o    a  =  6

Dado que son distancias, el valor de  a  debe ser positivo; por lo tanto  

a  =  6  unidades de longitud

b  =  a  +  2  =  6  +  2  =  8

Para que el triángulo que dibujó Alejandra tenga área igual a 50 unidades cuadradas   a  debe valer  6  unidades y  b  debe valer  8  unidades.

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