Respuestas
Una función es una relación entre dos conjuntos, en la que a cada valor del primer conjunto, denominado dominio, le corresponde un único valor del segundo, denominado recorrido o conjunto imagen.
Recorrido en funciones reales
Recorrido en funciones reales
El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la función cuando se aplica sobre los elementos del dominio. En una función real de variable real estos valores son números reales.
Aunque ya hemos estudiado este concepto en apartados anteriores, en este vamos a profundizar en su estudio para el caso de las funciones reales, y aprenderemos a calcularlo. Lo haremos a través de los siguientes puntos:
Definición
Cálculo del recorrido
Método gráfico
Método de la inversa
En funciones habituales
Función constante
Función polinómica de grado impar
Función polinómica de grado par
Función racional 1/x
Función raíz impar de x
Función raíz par de x
Función exponencial de x
Función logaritmo de un polinomio
Funciónes trigonométicas:
Funciones seno y coseno
Funciones tangente y cotangente
Funciones cosecante y secante
¿Empezamos nuestro recorrido?
Definición
El recorrido de una función real, también llamado conjunto imagen o simplemente imagen de la misma, es el conjunto de valores que toma la propia función, es decir, el conjunto de valores que se obtienen como salida al aplicar la función sobre los elementos del dominio:
Recf={y∈R / ∃x∈Domf con f(x)=y}
Donde:
Recf : Es el recorrido de la función. También se puede denotar Rec(f), Imf o Im(f). Puede ser todo el conjunto de los números reales, o bien un subconjunto de este: Recf⊆R
x : Es un número real, perteneciente al dominio de la función, que recibe el nombre de variable independiente
y: Es otro número real, perteneciente al conjunto imagen de la función, que recibe el nombre de variable dependiente. Su valor se obtiene aplicando la función f al valor de x : y=f(x) . Para un par de valores concretos (x,y) decimos que y es la imagen de x, y que x es la antiimagen de y
Recuerda el significado de los siguientes símbolos:
∃ existe un
∀ para todo
∈ pertenece a
/ tal que
⊂ subconjunto de
⊆ subconjunto o igual a
Observa que al recorrido también se le llama imagen (de la función, se sobreentiende). No debes confundir este conjunto imagen, con la imagen de un elemento concreto del dominio. Así decimos que la imagen de la función f(x)=x+2 es el conjunto de los reales (Rec(f)=ℝ); por otro lado, también decimos que el 5 es la imagen del 2 (y=f(3)=5) o que el -3 es la imagen del -5 ((y=f(-5)=-3)). El contexto te dejará claro si nos referimos a la imagen de la función o a la de un elemento.
Tampoco debes confundir el recorrido de una función con el codominio. Recuerda que este último es el conjunto de valores que podría tomar la salida, frente al recorrido que es el conjunto de valores que realmente toma. En las funciones reales de variable real tanto el dominio, como el codominio, como el conjunto imagen son números reales ( Domf⊆ℝ, Codf⊆ℝ, Recf⊆ℝ ). Visita el apartado de funciones matemáticas si necesitas aclarar estas ideas.
Cómo calcular el recorrido
A diferencia de lo que ocurría con el dominio, no vamos a tener un método que podamos aplicar de manera general para el cálculo del recorrido. En este punto vamos a centrarnos en estudiar dos procedimientos: