Un cuerpo de masa m cae desde cierta altura con velocidad inicial nula. La resistencia del aire no es despreciable y se sabe que es proporcional a la velocidad. Encuentre la ecuación de la velocidad en función del tiempo. Hallar la velocidad terminal o máxima del cuerpo.
Respuestas
Si la fuerza resistente es proporcional a la velocidad su ecuación es:
Fr = k V, opuesta al movimiento.
Luego, según la ley fundamental:
m g - k V = m a
Hallamos antes la velocidad terminal, que se alcanza cuando la aceleración es nula.
O sea Vm = m g / k
Siendo la fuerza variable debemos recurrir al Análisis matemático.
La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo.
Nos queda: m g - k V = m dV/dt
Es una ecuación de variables separables.
O sea dt = m dV / (m g - k V)
Se integra t entre 0 y t; integra para V entre 0 y V
Supongo que sabes integrar.
t = - m/k Ln [m g / (m g - k V)]
Debemos despejar V
V = m g / k [1 - e^(- m / k t)]
Finalmente:
V = Vm [1 - e^(- m / k . t)]
Es una función exponencial creciente.
La velocidad límite se alcanza para un tiempo infinitamente grande.
Pero cuando se alcanza el 99% de la velocidad máxima ya casi la aceleración es nula y podemos hallar el tiempo en alcanzarla.
Adjunto un gráfico ilustrativo para Vm = 20 km/h
Para este ejemplo 99% . 20 = 19,8 km/h
Se alcanza para un tiempo de 20,8 segundos.
Este punto está marcado en el gráfico.
Saludos.
