La rapidez en el momento, t, de un objeto que se mueve en linea recta esta determinada por la funcion: f(t)=t(t-1)(6-t), para 0 ≤ t ≤ 6. a. Elabora una grafica de la rapidez f(t) b En que intervalo de tiempo la rapidez es creciente? c. En que intervalo de tiempo la rapidez es decreciente? d. En que instante la rapidez es nula? Por fa ayúdenme, es urgente :(
Respuestas
Respuesta:
(1) Obtener la ecuaci´on de la tangente a la curva
8
x2 + y2 + xy3 − x4 = 1
en el punto (2, 2).
H Efectivamente el punto (2, 2) pertenece a la curva pues sus coordenadas x = y = 2 satisfacen la
ecuaci´on
8
22 + 22 + 2(2)3 − 24 = 8
4+4 + 2 × 8 − 16 = 8
8 + 16 − 16 = 1.
Si suponemos que y es funci´on de x entonces podemos calcular su derivada mediante derivaci´on impl´ıcita
d
dx[8(x2 + y2
)
−1 + xy3 − x4
] = d
dx1;
8(−1)(x2 + y2
)
−2 d
dx(x2 + y2
) + d
dx(xy3
) − d
dxx4 = 0
obtenemos
−8(2x + 2yy 0
)
(x2 + y2)2 + y3 + x × 3y2
y 0 − 4x3 = 0 ⇒
⇒ −16x − 16yy 0 + (x2 + y2
)
2
(y3 + 3xy2
y 0 − 4x3
)=0 ⇒
⇒ y 0
[−16y + 3xy2
(x2 + y2)
2
] = 16x − (x2 + y2)
2
(y3 − 4x3) ⇒
⇒ y 0 = 16x − (x2 + y2)2(y3 − 4x3)
−16y + 3xy2(x2 + y2)2 .
De aqu´ı que la pendiente de la recta tangente en el punto (2, 2) sea
y 0
(2, 2) = 32 − (4 + 4)2(8 − 32)
−32 + 24(4 + 4)2 = 32 − 64(−24)
−32 + 24(64) = 32 + 1536
−32 + 1536 = 1568
1504 = 49
47 .
Luego la ecuaci´on de la recta tangente es
y − 2 = 49
47(x − 2) ⇒ y = 49
47
x + 2 − 98
47
⇒ y = 49
47
x +
94 − 98
47
⇒ y = 49
47
x − 4
47 .
(2) Se requiere construir un recipiente cil´ındrico de base circular, con tapa y con capacidad de
6 m3. Calcular las dimensiones que debe tener, para que se requiera la m´ınima cantidad de material en su
construcci´on.
H Usamos las figuras
TERCERA EVALUACION PARCIAL E0600 ´ 3
r
r
h
2πr
• r
h
Queremos minimizar el ´area total del cilindro, es decir
A = 2πrh + 2πr2
.
Esta es una funci´on de dos variables: el radio de la base ´ r y la altura del cilindro h, pero est´an relacionadas
pues el volumen del cilindro V es igual a πr2h, el cual tiene que ser 6 m3, esto es
πr2h = 6, de donde h = 6
πr2 y, sustituyendo este valor en la f´ormula del ´area, la podemos escribir como
funci´on de una sola variable, r
A(r)=2πr
6
πr2 + 2πr2 = 12
r
+ 2πr2
.
Su dominio es (0,∞), es derivable y sus puntos cr´ıticos se obtienen cuando
A0
(r) = −12
r2 + 4πr = 0 ⇒
12
r2 = 4πr ⇒ r3 = 12
4π = 3
π
⇒ r = 3
r3
π =
3
π
1
3
.
Para este valor
h = 6
πr2 = 6
π
3
π
2
3
= 6
π 1
3 3
2
3
= 6 × 3
1
3
π 1
3 × 3
= 2 3
r3
π
= 2r.
Como
A00(r) = 2 × 12
r3 + 4π > 0,
el valor de r = 3
r3
π
es el que genera el ´area m´ınima.
Note lo poco frecuente que es encontrar en el mercado botes cil´ındricos cuya altura sea igual al di´ametro
de la base.
(3) Una part´ıcula se mueve en l´ınea recta y su posici´on instant´anea est´a dada por la funci´on
s = f(t) = t
3 − 12t
2 + 36t,
donde t ≥ 0 se mide en segundos y s en metros.
4 TERCER
Explicación paso a paso: