Una part´ıcula material pesada M, de masa m, y cuya carga el´ectrica es q, est´a obligada a moverse sin rozamiento por un plano horizontal OXY. La part´ıcula m est´a unida al punto O mediante un muelle OM, cuya longitud sin deformar, y constante el´astica son respectivamente a y mω 2 , de forma que la fuerza que el muelle ejerce sobre el punto M ser´a: F = −mω 2 (r −a) ur en donde r representa la distancia OM y ur es el versor de la direcci´on y sentido de OM. Se considera finalmente un campo magn´etico definido por: B = mω q k siendo k el versor de la vertical ascendente. La posici´on de la part´ıcula M en el plano quedar´a determinada indistintamente por sus coordenadas cartesianas (x,y) y por sus coordenadas polares (r,θ). Se pide: 1. Determinar, en funci´on de x, y, y sus derivadas, las componentes seg´un los ejes OX y OY de las fuerzas que act´uan sobre M. 2. Plantear, utilizando las coordenadas x, y, las ecuaciones de movimiento de M. 3. Plantear, utilizando las coordenadas r, θ, las ecuaciones de energ´ıa cin´etica y de momento cin´etico respecto a O. 4. Reducir la cuadraturas las ecuaciones determinadas en el apartado anterior con objeto de determinar la trayectoria y la ley horaria de M. 5. Suponiendo que M se encuentra inicialmente a una distancia a de O, ¿en qu´e direcci´on se deber´a lanzar y cu´al debe ser el valor de la velocidad de M, con objeto de que el movimiento de dicho punto sea uniforme? 6. Suponiendo que el punto se encuentra inicialmente a una distancia a de O y que se lanza en direcci´on radial, ¿cu´al ser´a el valor m´ınimo de la velocidad inicial con objeto de que M llegue a una distancia 2a de O
Respuestas
Respuesta:
Ejercicio 1.1.1: Una part´ıcula de masa M se coloca en reposo sobre un plano inclinado un ´angulo α
con la horizontal. El coeficiente de rozamiento es µ < tanα. Razonar si hay velocidad l´ımite. Obtener la
ley horaria del movimiento.
N
R
mgsinα
mgcosα
Ec. del movimiento:
mgsinα −R = mx¨
−mgcosα +N = 0
¿Desliza? |R|
|N| ≤ µ ?
|mgsinα|
|mgcosα| = tanα > µ
Desliza con resistencia f(v) = R = µ mgcosα < mgsinα
Es obvio que no existe VL/ f(vL) = mgsinα, pues la resistencia es constante y menor que la
componente tangencial del peso.
La ley horaria es trivial, pues se mueve con aceleraci´on constante g(sinα −µ cosα) partiendo del reposo:
x =
1
2
g(sinα −µ cosα) t
2
1
Ejercicio 1.1.2: Seg´un la ley de Stokes, la resistencia sobre una esfera de radio r que se mueve en un
fluido de coeficiente de viscosidad η es F(v) = 6πη r v. Calcular la velocidad l´ımite de una esfera de
densidad ρ, doble de la del fluido, y la ley horaria cuando se deja caer desde el reposo.
R
mag
meg
Las fuerzas que act´uan sobre la esfera son:
• Peso de la esfera: ρ
4
3
πr
3 g
• Flotaci´on (peso del agua desalojada): ρ
2
4
3
πr
3 g
• Resistencia: f(v) = 6πηrv
La velocidad l´ımite se alcanza cuando la resistencia equilibra al peso menos la flotaci´on:
ρ
2
4
3
πr
3
g = 6πηr vL ⇒ vL =
1
9
ρg
η
r
2
La ecuaci´on del movimiento la podemos escribir como:
mv˙ = f(vL)− f(v) ⇒ v˙ =
6πηr
ρ
4
3
πr
3
(vL −v) = c(vL −v) ⇒
Z v
0
dv
vL −v
= c
Z
dt
−L(vL −v) = ct +C; −LvL = C; L
vL
vL −v
= ct ⇒ v = vL
1−e
−ct
Siendo c =
9η
2ρr
2
. Integrando otra vez, se obtiene la ley horaria.
x = vL
t +
e
−ct
c
+C; 0 = vL
0+
1
c
+C ⇒ x =
vL
c
ct +e
−ct −1
v
vL
t
vL t
x
t
Ejercicio 1.1.3: Una esfera de masa m, radio r y coeficiente de resistencia aerodin´amica CD cae en el
aire de densidad ρ. Calcular la velocidad l´ımite y la ley horaria.
Aplicarlo al caso de un bal´on de f´utbol: m = 410 − 450 g, CD = 0,5, 2πr = 68 − 70 cm, ρ =
1,225 kg/m3
.
NOTA: Al superar una velocidad entre 20 y 25 m/s, seg´un la rugosidad de las superficie, el r´egimen pasa de
laminar a turbulento, y CD cae bruscamente a un valor de aproximadamente 0,1. Si la velocidad l´ımite calculada
con el primer valor es mayor que esta, habr´a que calcularla de nuevo con el CD menor. Este efecto lo us´o David
Beckham en el mundial de 2002: Tira a gran velocidad por encima de la barrera; al acercarse a la porter´ıa parece
que se va alto. Pero ya se ha frenado lo suficiente para entrar en r´egimen laminar, con lo que de pronto sube la
resistencia, cae bruscamente y entra en la porter´ıa.
Como en el caso anterior, las fuerzas son:
• Peso de la esfera: mg = ρe
4
3
πr
3 g
• Flotaci´on (generalmente despreciable): ρa
4
3
πr
3 g
• Resistencia: f(v) = 1
2
ρaCD A v2
; A = πr
2
Velocidad l´ımite: 4
3
πr
3
g(ρe −ρa) = 1
2
ρaCDπr
2
v
2
L ⇒ v
2
L =
8
3
gr(ρe −ρa)
ρaCD
Para calcular la ley horaria, podemos poner la ecuaci´on del movimiento en la forma
mv˙ = f(vL)− f(v) = mc
v
2
L −v
2
y recordar que Z
dx
x
2
0 −x
2
=
1
x0
argtanh x
x0
donde c =
1
2m
CDρaπr
2
(dimensiones de L
−1
). As´ı se obtiene,
dv
c
v
2
L −v
2
= dt, t +C =
1
cvL
argtanh v
vL
Imponiendo condiciones iniciales: v(0) = 0 ⇒ C = 0. En este caso se puede despejar
la velocidad:
v = vL tanhvLct
que tiende asint´oticamente a vL. Recordando que R
tanhxdx = lncoshx, se puede integrar otra
vez para obtener
x =
1
c
lncosh(vLct)+C
Condiciones iniciales: x(0) = 0 ⇒ C = 0
El espacio recorrido tiende asint´oticamente a vL t. Sustituyendo los valores del bal´on m´as pesado, se tiene:
vL = 19,065 m/s, muy pr´oxima paso de laminar a turbulento. En 6 segundos de ca´ıda la velocidad es ya muy
pr´oxima a la l´ımite. Otra cosa ser´ıa la velocidad alcanzada de una patada. 0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6
m/s
s
vL
v(
Explicación: