Question

El estacionamiento de un centro comercial se encuentra en su sótano y su rampa tiene un ángulo de inclinación de 30°, tal como se muestra en la figura. Si dicha rampa tiene una longitud de 7 m, ¿A cuántos metros bajo el nivel del suelo se encuentra el estacionamiento?

Answer 1

El estacionamiento se encuentra a 3,5 metros bajo el nivel del suelo

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

Es decir en estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.  

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 30-60 por sus ángulos

• Este triángulo tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3 y la hipotenusa medirá 2k (o el doble de lo que mida el primer lado) .En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura de la rampa, el lado BC que representa la línea de suelo en el nivel del sótano del centro comercial y el lado AB que es la longitud de la rampa con un ángulo de inclinación de 30°

Dado que una rampa sirve para ascender o descender es lo mismo para la resolución del ejercicio tomar el ángulo de inclinación de la rampa como ángulo de elevación hasta el nivel de piso del centro comercial desde el estacionamiento en el sótano, o que se tome como un ángulo de depresión desde el plano del suelo por encima del sótano hasta este. Dado que son ángulos homólogos.

Resolveremos el ejercicio como si fuera un ángulo de depresión que va desde el nivel superior del piso hasta el nivel del suelo en el sótano. Habiéndose trazado en el gráfico dos paralelas para cada plano de piso

Se hallará la altura de la rampa que determina la diferencia entre niveles

Solución:

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos la longitud de la rampa y de su ángulo de inclinación de 30°

• Debemos hallar la altura de la rampa que determina la diferencia entre los dos niveles

Vamos a relacionar estos datos con el seno del ángulo

Recordando que como tenemos un triángulo notable

$\boxed {\bold { sen(30)\° = \frac{1}{2} }}$

Planteamos

$\boxed {\bold { sen(30)\° = \frac{ cateto \ opuesto }{hipotenusa} =\frac{AB}{AC} }}$

$\boxed {\bold { sen(30)\° = \frac{ altura \ de \ la \ rampa }{longitud \ de \ la \ rampa} =\frac{AB}{AC} }}$

$\boxed {\bold { altura \ de \ la \ rampa \ (AB)=l ongitud \ de \ la \ rampa \ . \ sen(30)\° }}$

Sí

$\boxed {\bold { sen(30)\° = \frac{1}{2} }}$

$\boxed {\bold { altura \ de \ la \ rampa \ (AB)= 7 \ metros \ . \ \frac{1}{2} }}$

$\boxed {\bold { altura \ de \ la \ rampa\ (AB)= 3,5 \ metros} }}$

La altura de la rampa = 3,5 metros

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La longitud de la rampa es de 7 metros

Y resulta ser la hipotenusa del triángulo notable de 30-60

En un triángulo notable 30°- 60° la hipotenusa -que equivale a la longitud de la rampa - equivale a 2k.

Planteamos

$\boxed {\bold { longitud \ de \ la \ rampa= 7 \ metros = 2k }}$

Donde despejaremos a la constante k

$\boxed {\bold { 2k = 7 \ metros }}$

$\boxed {\bold { k = 7 \ metros \div 2 }}$

$\boxed {\bold { k = 3,5 }}$

El valor de la constante k es de 3,5

La altura de la rampa es el cateto opuesto del ángulo notable de 30°

Por lo tanto al ser el cateto opuesto del ángulo notable  de 30° medirá 1k

Planteamos

$\boxed {\bold { altura \ de \ la \ rampa \ (AB)= 1k }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed {\bold { altura \ de \ la \ rampa \ (AB)= 1 \ . \ 3,5 }}$

$\boxed {\bold { altura \ de \ la \ rampa \ (AB)= 3,5 \ metros }}$

La altura de la rampa = 3,5 metros