Question

Dos lados de un triángulo cuyas medidas son 5m y 9m, forman entre sí un ángulo de 150°. ¿Cuánto mide el tercer lado?
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Answer 1

Respuesta a tu pregunta del tema Ley de cosenos

⇒  mide 13.5624m.

Explicación paso a paso:

Para solucionar este problema trigonométrico es necesario identificar el triángulo sobre el que trabajaremos, en este caso es un triángulo oblicuángulo, es decir, ninguno de sus ángulos es recto por lo que no podemos aplicar el teorema de Pitágoras.

Sin embargo existe otra herramienta que podemos aplicar en estos casos: la ley de cosenos.

Utilizaremos para ello la formula:

$a^2=b^2+c^2-2bc*cos(A)$         Ec.1

te adjunto una imagen ilustrativa para entender mejor la formula.

si nos basamos en el enunciado y la figura podemos decir que:

• c= 5m
• b=  9m
• A=150°

Sustituyendo en la Ec.1:

$a^2=(9)^2+(5)^2-2(9)(5)*cos(150)$

y resolviendo:

$a^2=81+25-90*cos(150)\\a^2=81+25-90*(-0.8660)\\a^2=183.94a=\sqrt{183.94}\\ a=13.5624$

Por lo tanto concluimos que el tercer lado mide 13.5624m.

Answer 2

El tercer lado del triángulo mide aproximadamente 13,56 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno, también llamado ley del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:        

$\boxed {\bold {a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha )}}$

$\boxed {\bold {b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta )}}$

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución

Hallando el valor del lado desconocido del triángulo ABC (Lado AB / c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold {AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \ . \ BC \ . \ AC \ . \ cos(\gamma )}}$

o

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 9^{2} + 5^{2} - 2 \ . \ 9 \ . \ 5 \ . \ cos(150\° )}}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 81 + 25- 90 \ . \ cos(150\° )}}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 106- 90 \ . \ cos(150\° )}}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 106- 90 \ . - 0,866025403784 }}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 106 \ +77,94 }}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 183,94 }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c^{2} } = \sqrt{ 183,94 } }}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{ 183,94 } }}$

$\boxed {\bold {c^{} = 13,5624 \ metros }}$

$\boxed {\bold {c^{} \approx 13,56 \ metros }}$

El tercer lado del triángulo mide ≅ 13,56 metros