Question

De un depósito de agua salen dos tubos, uno de 175 metros y otro de 205 metros que abastecen a dos casas A y B. Si el ángulo que forman los tubos entre sí es de 105° ¿Cuál es la distancia entre las casas?

Answer 1

La distancia entre las casas A y B es de aproximadamente 302,03 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno, también llamado ley del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed { \bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha )}}$

$\boxed { \bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta )}}$

$\boxed { \bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución

Nos piden determinar la distancia entre dos casas que son abastecidas desde el mismo depósito de agua, del cual salen dos tubos que proveen a cada una de las dos casas

Esta situación se puede representar en un imaginario triángulo ABC en donde

El lado AC (lado b) representa la longitud de uno de los tubos que abastecen a una de las casas, el lado BC la longitud del otro tubo que provee de agua a la segunda casa -saliendo ambos tubos de un depósito de agua ubicado en el punto C- y el lado AB (lado c) que conforma la distancia entre ambas casas A y B

Conocemos la longitud de los tubos que abastecen a las dos casas y el valor del ángulo que los tubos forman entre sí - que resulta ser el ángulo opuesto al lado- que equivale a la distancia que nos piden hallar Luego empleamos el teorema del coseno para resolver el problema

Hallando la distancia entre las dos casas A y B  (Lado AB / c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed { \bold { AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \ . \ BC \ . \ AC \ . \ cos(\gamma )}}$

o

$\boxed { \bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Reemplazamos valores

$\boxed { \bold { AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \ . \ BC \ . \ AC \ . \ cos(\gamma )}}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 205^{2} + 175^{2} - 2 \ . \ 205 \ . \ 175 \ . \ cos(105\°) }}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 42025 + 30632 - 71750 \ . \ cos(105\°) }}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 72650 - 71750 \ . \ cos(105\°) }}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 72650 - 71750 \ . - 0,258819045102 }}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 72650 + 18570,27 }}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 91220,27 }}$

$\boxed { \bold { \sqrt{ AB^{2} }= \sqrt{91220,27 } }}$

$\boxed { \bold { AB = \sqrt{91220,27 } }}$

$\boxed { \bold { AB \approx 302,0269 \ metros }}$

$\boxed { \bold { AB \approx 302,03 \ metros }}$

La distancia entre ambas casas es de aproximadamente 302,03 metros