Question

Desde dos puntos B y C de una carretera separados entre sí 270 metros, se observa un árbol A. Sabiendo que el ángulo B es de 55° y el ángulo C de 65°, calcular la distancia del árbol al punto más cercano.

Answer 1

La distancia del árbol al punto más cercano es de aproximadamente  255,39 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

En nuestro imaginario triángulo acutángulo ABC este está conformado por el lado AB  (lado c) que representa la distancia desde el punto B en la carretera hasta el árbol ubicado en A, el lado AC  (lado b) que equivale a la distancia desde el otro punto de la carretera -el punto C- hasta el árbol que se encuentra en A y el lado BC (lado a) que es la separación entre los dos puntos B y C en la carretera.

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen(\alpha) } =\frac{b}{ sen(\beta) } =\frac{c}{ sen (\gamma) }} }$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Hallando el valor del ángulo α - Ubicación del árbol-

Por enunciado sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo acutángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed{ \bold { 180\° = 55\°+ 65\° + \alpha }}$

$\boxed{ \bold { \alpha = 180\° - 55\°- 65\° }}$

$\boxed{ \bold { \alpha = 60\° }}$

El ángulo α tiene un valor de 60°

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen(\alpha) } =\frac{b}{ sen(\beta) } =\frac{c}{ sen (\gamma) }} }$

Hallando el lado b (lado AC) -Distancia desde el árbol en A hasta el punto C en la carretera-  

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen(\alpha) } =\frac{b}{ sen(\beta) } }} }$

$\boxed {\bold { \frac{270 \ metros}{sen(60\° ) } =\frac{b}{ sen(55\° ) } }} }$

$\boxed {\bold { b = \frac{270 \ metros \ . \ sen(55\° ) }{sen(60\° ) } }} }$

$\boxed {\bold { b = \frac{270 \ metros \ . \ 0,81915 20442889 }{0,86602 54037844 } }} }$

$\boxed {\bold { b = \frac{221,17105195800 \ metros }{0,86602 54037844 } }} }$

$\boxed {\bold { b =\approx 255,3863 \ metros }} }$

$\boxed {\bold { b =\approx 255,39 \ metros }} }$

La distancia del árbol en A hasta el punto C en la carretera es ≅ 255,39 metros

Hallando el lado a (lado AB) -Distancia desde el árbol en A hasta el punto B en la carretera-  

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen(\alpha) } =\frac{c}{ sen (\gamma) }} }$

$\boxed {\bold { \frac{270 \ metros}{sen(60\° ) } =\frac{c}{ sen(65\° ) } }} }$

$\boxed {\bold { c = \frac{270 \ metros \ . \ sen(65\° ) }{sen(60\° ) } }} }$

$\boxed {\bold { c = \frac{270 \ metros \ . \ 0,9063077870366 }{0,86602 54037844 } }} }$

$\boxed {\bold { c = \frac{244,70310249989 \ metros }{0,86602 54037844 } }} }$

$\boxed {\bold { c =\approx 282,5589 \ metros }} }$

$\boxed {\bold { c =\approx 282,56 \ metros }} }$

La distancia del árbol en A hasta el punto B en la carretera es ≅ 282,56 metros

Luego la distancia más cercana al árbol en el punto A resulta ser la distancia desde el punto C sobre la carretera cuya longitud es de aproximadamente 255,39 metros