Respuestas
Respuesta:
Dados un vector
⃗
v
=
(
v
1
,
v
2
,
v
3
)
y un punto
P
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
, nos proponemos hallar la ecuación de la recta
r
que pasa por el punto
P
0
y es paralela al vector
⃗
v
.
Consideremos un punto
P
(
x
,
y
,
z
)
perteneciente a la recta r. El vector
−−→
P
0
P
resultará paralelo al vector director
⃗
v
:
gif012-recta-en-r3-director-paso
−−→
P
0
P
=
α
⃗
v
(
x
–
x
0
,
y
–
y
0
,
z
–
z
0
)
=
α
(
v
1
,
v
2
,
v
3
)
(
x
,
y
,
z
)
=
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
+
α
(
v
1
,
v
2
,
v
3
)
,
α
∈
R
Ecuación vectorial de la recta
Ejemplo
Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
M
(
3
,
2
,
1
)
y
S
(
–
1
,
1
,
0
)
.
Tenemos como datos dos puntos de la recta, entonces los vectores
−−→
M
S
y
−−→
S
M
son paralelos a dicha recta. Elegimos uno de ellos como vector director:
⃗
v
=
−−→
M
S
=
(
–
4
,
–
1
,
–
1
)
Podemos tomar cualquiera de los dos puntos dados cómo punto de paso, por ejemplo
M
. Entonces la ecuación es:
(
x
,
y
,
z
)
=
(
3
,
2
,
1
)
+
α
(
–
4
,
–
1
,
–
1
)
,
α
∈
R
e
c
u
a
c
i
ó
n
v
e
c
t
o
r
i
a
l
d
e
l
a
r
e
c
t
a
M
S
Para cada valor de
α
∈
R
,
se obtiene un punto de la recta. Por ejemplo, si
α
=
–
1
se obtiene el punto
P
1
(
7
,
3
,
2
)
∈
r
.
¿
(
5
,
–
3
,
1
)
∈
r
?
Veamos si existe algún valor de
α
que verifique esta ecuación vectorial:
(
5
,
–
3
,
1
)
=
(
3
,
2
,
1
)
+
α
(
–
4
,
–
1
,
–
1
)
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
3
–
4
α
=
5
2
–
α
=
–
3
1
–
α
=
1
Este sistema es incompatible, así que el punto no pertenece a la recta.