Question

Dos observadores en una llanura separados por una distancia de 5 kilómetros y dándose la cara entre sí, hallan que los ángulos de elevación de un globo situado en el mismo plano vertical que ellos son de 55° y 58° respectivamente. Hallar la distancia del globo a cada uno de los observadores. Hallar la altura del globo.

Answer 1

La distancia del globo al observador 1 es de aproximadamente 4,60 km. La distancia del globo al observador 2 es de aproximadamente 4,45 km. El globo de halla a una altura de aproximadamente 3,77 km

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

En nuestro imaginario triángulo acutángulo ABC este está conformado por el lado AC (lado b) que representa la distancia del observador 1 -hasta el globo, el lado BC (lado a) equivale a la distancia del observador 2 hasta el globo, y e lado AB es la distancia de separación entre ambos observadores

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen (\alpha) } = \frac{b}{sen(\beta)} = \frac{c}{sen (\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Hallando el valor del ángulo γ

Sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo acutángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed { \bold { 180\° = 55\° + 58\° + \gamma}}$

$\boxed { \bold { \gamma = 180\° - 55\° - 58\° }}$

$\boxed { \bold { \gamma = 67\° }}$

Hallando la distancia del lado b - Observador 1 -  

$\boxed {\bold { \frac{b}{sen(\beta)} = \frac{c}{sen (\gamma)} }}$

$\boxed {\bold { \frac{b}{sen(58\° ) } = \frac{ 5 \ km}{sen (67\° ) } }}$

$\boxed {\bold { b = \frac{ 5 \ km \ . \ sen(58\°) }{sen (67\° ) } }}$

$\boxed {\bold { b = \frac{ 5 \ km \ . \ 0,8480480961564 }{ 0,9205048534524 } }}$

$\boxed {\bold { b = \frac{ 4,2402404807821 \ km }{ 0,9205048534524 } }}$

$\boxed {\bold { b \approx 4,60 \ km }}$

La distancia del Observador 1 al globo es ≅ 4,60 km

Hallando la distancia del lado a - Observador 2 -

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen (\alpha) } = \frac{c}{sen (\gamma)} }}$

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen(55\° ) } = \frac{ 5 \ km}{sen (67\° ) } }}$

$\boxed {\bold { a = \frac{ 5 \ km \ . \ sen(55\°) }{sen (67\° ) } }}$

$\boxed {\bold { a = \frac{ 5 \ km \ . \ 0,8191520442889 }{ 0,9205048534524 } }}$

$\boxed {\bold { a = \frac{ 4,0957602214449 \ km }{ 0,9205048534524 } }}$

$\boxed {\bold { a \approx 4,45 \ km }}$

La distancia del Observador 2 al globo es ≅ 4,45 km

Hallando la altura del globo

Como no conocemos la altura a la cual se encuentra el globo para hallarla en este triángulo acutángulo vamos a emplear la estrategia de la altura, de manera que la altura lo divida en dos triángulos rectángulos

En donde para cada uno de los triángulos rectángulos el cateto opuesto al ángulo de elevación para cada observador equivale a la altura en donde se halla el globo y las dos hipotenusas de cada triángulo son las dos distancias respectivas del globo a cada uno de los observadores. Relacionándose esto con los senos de los ángulos  

Siguiendo este razonamiento

Se puede afirmar que

La altura de un triángulo es igual al producto de uno de sus lados laterales (que no sea la base) por el seno del ángulo que dicho lado forma con la base

Luego podemos expresar

$\boxed {\bold { Altura \ del \ Globo = \ lado \ a \ . \ sen(\beta) }}$

o

$\boxed {\bold { Altura \ del \ Globo = \ lado \ b \ . \ sen(\alpha) }}$

Como hemos hallado el valor de los lados a y b, y conocemos los ángulos que ambos lados forman con la base, podemos hallar la altura a la que se encuentra el globo

Podríamos emplear uno sólo de los lados y el ángulo correspondiente para hallar la altura del globo

Pero lo resolveremos para cada uno de los dos triángulos para comprobar que se llega al mismo resultado

Para lado b - Observador 1 -

$\boxed {\bold { Altura \ del \ Globo = \ lado \ b \ . \ sen(\alpha) }}$

$\boxed {\bold { h= b \ . \ sen(\alpha) }}$

$\boxed {\bold { h= 4,60 \ km \ . \ sen(55\° ) }}$

$\boxed {\bold { h= 4,60 \ km \ . \ 0,8191520442889 }}$

$\boxed {\bold { h \approx 3,77 \ km }}$

Para lado a - Observador 2 -

$\boxed {\bold { Altura \ del \ Globo = \ lado \ a \ . \ sen(\beta) }}$

$\boxed {\bold { h= a \ . \ sen(\beta) }}$

$\boxed {\bold { h= 4,45 \ km \ . \ sen(58\° ) }}$

$\boxed {\bold { h= 4,45 \ km \ . \ 0,8480480961564 }}$

$\boxed {\bold { h \approx 3,77 \ km }}$

La altura del globo es ≅ 3,77 km