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Respuesta:
2'5 puntos] Se sabe que la función f : R → R definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c tiene un punto de derivada nula en x = 1 que no es extremo relativo y que f(1) = 1. Calcula a, b y c.
Solución
Como f(x) = x3 + ax2 + bx + c tiene un punto de derivada nula en x = 1 que no es extremo relativo x = 1 es un punto de inflexión, luego tenemos f '(1) = 0 y además f ''(1) = 0. También el problema nos dice que f(1) = 1.
f(x) = x3 + ax2 + bx + c
f '(x) = 3x2 + 2ax + b
f ''(x) = 6x + 2a
De f ''(1) = 0 tenemos 0 = 6 + 2a, luego a = - 3
De f'(1) = 0 tenemos 0 = 3 +2(-3) + b, luego b = 3
De f(1) = 1 tenemos 1 = 1 + (-3) + (3) + c , luego c = 0.
Los coeficientes pedidos son a = -3, b = 3 y c = 0 y la función será f(x) = x3 - 3x2 + 3x
Aunque no la piden su gráfica es