Question

La diferencia de dos numeros es 3 y su producto es igual a 2 veces su suma. ¿Cual son esos numero; dar como respuesta el cociente entre el mayor y el menor?

Answer 1

Tenemos 2 números: x, y

Dato 1:

Su diferencia es 3

x - y = 3

Dato 2:

Su producto es igual a 2 veces su suma

x . y = 2(x + y)

x . y = 2x + 2y

Es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Método de sustitución: despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos en la otra.

x = 3 + y

(3 + y) . y = 2 (3 + y) + 2y

3y + y² = 6 + 2y + 2y

3y + y² = 6 + 4y

3y - 4y + y² = 6  

y² - y - 6 = 0

Es una ecuación de segundo grado, resolvemos:

$y = \frac{-b \± \sqrt{b^{2}- 4ac} }{2a} \;\;\;\;\; donde \;\;\;\;\; a=1 \;\;\;\;\;b=-1\;\;\;\;\;c=-6$

Sustituimos:

$y=\frac{-1\±\sqrt{1-4\cdot 1 \cdot (-6)} }{2} = \frac{-1\±\sqrt{1+24} }{2} =\frac{-1\±\sqrt{25} }{2} =\frac{-1\±\ 5 }{2}$

Tenemos 2 posibles soluciones:

$y_{1 } =\frac{-1+5}{2} =\frac{4}{2} =2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; y_{2 } =\frac{-1-5}{2} =-\frac{6}{2} =-3$

Sustituimos el valor de y en la ecuación     $x = 3 + y$

$x_{1} = 3 + 2 = 5 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x_{2} = 3 -3 = 0$

Los números serían 5 y 2 o bien -3 y 0, pero como nos pide como respuesta el cociente entre el mayor y el menor solo nos valen las soluciones 5 y 2, puesto que la fracción -3 / 0 no es una solución definida.

Solución: 5 / 2