sea p el producto de todos los números primos menores que 100 cual es el residuo que se obtiene al dividir p entre 4

Respuestas

Respuesta dada por: abelnight5057

Respuesta a tu pregunta sobre Números primos y Residuo de la división:

⇒El residuo de dividir $\frac{p}{4}$ es 1

Explicación paso a paso:

Partimos de entender que es un número primo:

"es un número natural que tiene solo dos divisores: él mismo y el 1"

Siguiendo esta definición los números positivos entre el 1 y el 100 son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97

nos dice el problema que p es el producto de todos los números primos, es decir, la multiplicación:

$p=2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97\\$

El problema nos pide obtener el residuo de dividir p/4, que nos da como resultado:

$\frac{p}{4}= \frac{p=2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97\\}{4} \\= \frac{p=2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97\\}{2*2} \\= \frac{p=3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97\\}{2}$

debido a que realizando la operación tal cual esta se vuelve muy complicado obtener el resultado ,para encontrar el residuo, prestaremos atención a un único número que será el dígito final de la multiplicación. Me explico:

3*5=15 solo nos interesará el 5, por lo tanto la siguiente operación será

5*7= 35 nos quedamos con el 5 nuevamente

5*11= 55 nuevamente el 5 y así sucesivamente

si comprobamos: 3*5*7*11= 1155 vemos que el último dígito es 5

y además vemos que al siempre multiplicar por un número impar nos continuará dando 5 indefinidamente. Entonces al finalizar obtendremos que el número de interés es el 5 el cual dividiremos entre 2.

$\frac{5}{2}=2.5$