Respuestas
Factorizando Trinomios
Objetivos de Aprendizaje
· Factorizar trinomios cuyo coeficiente del primer término es 1.
· Factorizar trinomios con un factor común.
· Factorizar trinomios cuyo coeficiente del primer término es distinto de 1.
Introducción
Un polinomio con tres términos se llama trinomio. Normalmente (¡pero no siempre!) los trinomios tienen la forma x2 + bx + c. A simple vista, parecen difíciles de factorizar, pero puedes tomar ventaja de algunos patrones matemáticos interesantes para factorizar incluso los trinomios que más complicados se ven.
Entonces, ¿cómo pasas de 6x2 + 2x – 20 a (2x + 4)(3x −5)? Veamos.
Factorizando Trinomios: x2 + bx + c
Los trinomios de la forma x2 + bx + c normalmente pueden factorizarse como el producto de dos binomios. Recuerda que un binomio es simplemente un polinomio de dos términos. Empecemos observando qué pasa cuando multiplicamos dos binomios, como (x + 2) y (x + 5).
Ejemplo
Problema
Multiplicar (x + 2)(x + 5).
(x + 2)(x + 5)
Usa el método FOIL para multiplicar los binomios.
x2 + 5x + 2x +10
Luego combina los términos semejantes 2x y 5x.
Respuesta
x2 + 7x +10
Factorizar es el reverso de multiplicar. Entonces vayamos en reversa y factoricemos el trinomio x2 + 7x + 10. Los términos individuales x2, 7x, y 10 no comparten factores comunes. Entonces vamos a reescribir x2 + 7x + 10 como x2 + 5x + 2x + 10.
Y, puedes agrupar los pares de factores: (x2 + 5x) + (2x + 10)
Factorizar cada par: x(x + 5) + 2(x + 5)
Luego sacar el factor común x + 5: (x + 5)(x + 2)
A continuación se muestra el mismo problema en la forma de un ejemplo:
Ejemplo
Problema
Factorizar x2 + 7x +10.
x2 + 5x + 2x +10
Reescribe el término de en medio 7x como 5x + 2x.
x(x + 5) + 2(x + 5)
Agrupa los pares y saca el factor común x del primer par y el factor 2 del segundo par.
(x + 5)(x + 2)
Saca el factor común
(x + 5).
Respuesta
(x + 5)(x + 2)
¿Cómo sabemos la manera de reescribir el término de en medio? Desafortunadamente, no puedes reescribirlo de una única manera. Si reescribes 7x como 6x + x, este método no funcionará. Afortunadamente, existe una regla para eso.
Factorizando Trinomios de la forma x2 + bx + c
Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, encuentra dos enteros, r y s, cuyo producto sea c y cuya suma sea b.
Reescribe el trinomio como x2 + rx + sx + c y luego agrupa y aplica la propiedad distributiva para factorizar el polinomio . Los factores resultantes serán (x + r) y (x + s).
Por ejemplo, para factorizar x2 + 7x +10, buscas dos números cuya suma sea 7 (el coeficiente del término central) y cuyo producto sea 10 (el último término).
Piensa en pares de factores de 10: 1 y 10, 2 y 5. ¿Alguno de ellos suman 7? Sí, 2 y 5. Entonces puedes reescribir 7x como 2x + 5x, y continuar factorizando como el ejemplo anterior. Observa que también puedes reescribir 7x como 5x + 2x. Ambas forman funcionan.
Factoricemos el trinomio x2 + 5x + 6. En este polinomio, la parte b del término central es 5 y el término c es 6. Una tabla nos ayudará a organizar las posibilidades. A la izquierda, enlista todos los factores posibles del término c, 6; a la derecha encontrarás las sumas.
Factores cuyo producto es 6
Suma de los factores
1 • 6 = 6
1 + 6 = 7
2 • 3 = 6
2 + 3 = 5
Sólo hay dos combinaciones posibles de factores, 1 y 6, y 2 y 3. Puedes ver que 2 + 3 = 5. Entonces 2x + 3x = 5x, que nos da el término central correcto.
Ejemplo
Problema
Factorizar x2 + 5x + 6.
x2 + 2x + 3x + 6
Usa los valores de la tabla anterior. Reemplaza el 5x con 2x + 3x.
(x2 + 2x) + (3x + 6)
Agrupa los pares de términos.
x(x + 2) + (3x + 6)
Saca el factor x del primer par de términos.
x(x + 2) + 3(x + 2)
Saca el factor 3 del segundo par de términos.
(x + 2)(x + 3)
Saca el factor (x + 2).
Respuesta
(x + 2)(x + 3)
Observa que si hubieras escrito x2 + 5x + 6 como x2 + 3x + 2x + 6 y agrupado los pares como (x2 + 3x) + (2x + 6); luego factorizado, x(x + 3) + 2(x + 3), y sacado el factor x + 3, la respuesta habría sido (x + 3)(x + 2). Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores no importa. Entonces esta respuesta también es correcta; son resultados equivalentes.
Finalmente, observemos el trinomio x2 + x – 12. En este trinomio, el término c es −12. Entonces busquemos todas las combinaciones de factores cuyo producto sea −12. Luego vemos cuál de estas combinaciones te da el término centra correcto, donde b es 1.
Respuesta:
Explicación paso a paso:28+a²-11a